关于Karatzas and Shreve问题2.1.4中σ域并集对有限交封闭的证明疑问

嘿，我来帮你捋清楚这个卡壳的点！其实你已经走对了一半，只是在反向包含的思路上绕了点弯路——我们根本不需要证明两个σ域的交集等于那个合并后的σ域，只需要说明它们的交集里的任意元素都属于并集中的某个σ域就行，这样就能满足“并集对有限交封闭”的要求。

先明确我们要证的核心：记$\mathcal{F}0$是所有形如$\sigma(X_0,X{s_1},\dots,X_{s_n})$（其中$0=s_0<s_1<\dots<s_n=s$）的σ域的并集，我们要证明对任意$A,B\in\mathcal{F}_0$，都有$A\cap B\in\mathcal{F}_0$。

具体步骤是这样的：

• 既然$A\in\mathcal{F}0$，那一定存在某个有限索引集$0=s_0<s_1<\dots<s_n=s$，使得$A\in\sigma(X_0,X{s_1},\dots,X_{s_n})$；同理，$B\in\mathcal{F}0$意味着存在另一个有限索引集$0=t_0<t_1<\dots<t_m=s$，使得$B\in\sigma(X_0,X{t_1},\dots,X_{t_m})$。
• 把这两个索引集合合并起来，排序后得到一个新的有限索引集$0=r_0<r_1<\dots<r_k=s$，这个集合包含了原来两个集合里的所有时间点。
• 现在看这个新的σ域$\sigma(X_0,X_{r_1},\dots,X_{r_k})$：它显然属于$\mathcal{F}_0$（因为它是由有限个≤s的时间点生成的），而且原来的两个σ域都是它的子集——毕竟这个新σ域包含了前两个σ域的所有生成元，自然包含前两个σ域。
• 既然$A$和$B$都属于这个新的σ域，而σ域本身对有限交封闭，所以$A\cap B$也属于这个新σ域。而这个新σ域在$\mathcal{F}_0$里，所以$A\cap B\in\mathcal{F}_0$。

这样就搞定了！你之前纠结的“反向包含”其实没必要，我们不需要证明两个σ域的交集等于合并后的σ域，只需要找到一个属于$\mathcal{F}_0$的σ域，能包含这个交集就行——而合并后的σ域刚好就是干这个用的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Johanna