关于实数m对应的集合mZ在加法下是否构成群的技术问询

给定集合mℤ定义为所有整数与实数m的乘积构成的集合，即：
mℤ = { ..., -2m, -m, 0, m, 2m, ... }
请问当m为任意实数时，mℤ在加法运算下是否能构成群？（我知道当m是正整数时它确实构成加法群，但不确定这个结论是否对所有实数m都成立？）

嘿，这个问题问得好！我们可以对照群的四个核心公理，逐一验证mℤ在加法下的表现——不管m是正实数、负实数还是0，结论都是成立的：

• 封闭性：任取mℤ中的两个元素，比如km和lm（其中k、l都是整数），它们的和是km + lm = (k+l)m。因为k+l也是整数，所以(k+l)m必然属于mℤ，封闭性满足。
• 结合律：加法运算在整个实数集上都是满足结合律的，mℤ作为实数集的子集，里面的元素自然也遵循这个规律，结合律没问题。
• 单位元存在：0是mℤ中的元素（当整数取0时，0*m=0），而且对任意km ∈ mℤ，都有km + 0 = 0 + km = km，完美符合单位元的定义。
• 逆元存在：对mℤ里的任意元素km，它的逆元就是(-k)m——两者相加的结果是km + (-k)m = 0，而(-k)m显然也属于mℤ，逆元条件也满足。

哪怕是m=0的特殊情况，0ℤ就是只包含{0}的平凡集合，同样满足所有群公理：0+0=0，单位元和逆元都是0自己，完全符合群的定义。

所以结论是：不管m是任意哪个实数，mℤ在加法运算下都构成群。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1167673