关于黎曼可积函数类在不同范数下完备化空间的疑问

你完全没理解错！这个困惑的核心就是完备化是依赖于空间所配备的范数/度量的，同一个向量空间，搭配不同的范数，完备化的结果可以完全不同。

咱们一步步理清楚：

• 当给黎曼可积函数空间配备$L^1$范数时，也就是定义范数为 $|f|_1 = \int |f(x)| dx$（不管是在$\mathbb{R}$还是$[0,2\pi]$上），这个空间是不完备的——存在柯西序列不收敛到空间里的黎曼可积函数。它的完备化就是$L^1$空间，也就是所有勒贝格可积函数的等价类（几乎处处相等的函数视为同一个元素）。
• 而Stein书里提到的$L^{2$完备化，是给黎曼可积函数空间配备了由内积诱导的$L}2$范数：$|f|_2 = \left(\int |f(x)|^2 dx\right)^{1/2}$，对应的内积是$\langle f,g\rangle = \int f(x)\overline{g(x)} dx$。此时这个预希尔伯特空间的完备化就是$L^{2$空间，也就是所有平方勒贝格可积的函数等价类。这在傅里叶分析里特别常用，因为$L}2$有很好的希尔伯特空间结构，比如正交基（傅里叶基），所以经常会在这个框架下讨论完备化。

至于你问的「是不是其他空间也能成为它的完备化」——当然可以！举个例子：如果给黎曼可积函数空间配备一致范数$|f|\infty = \sup{x\in[0,2\pi]} |f(x)|$，那么它的完备化就是闭区间$[0,2\pi]$上的连续函数空间$C([0,2\pi])$。原因是连续函数在黎曼可积函数里，且在一致范数下稠密，而$C([0,2\pi])$在一致范数下本身就是完备的，所以它就是这个范数下的完备化结果。

简单来说，完备化不是空间本身的固有属性，而是空间和其上的范数共同决定的~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user760