利用二项展开恒等式与韦达变换求解缺项三次方程$x^3-6x+7$的精确解

没问题，我来一步步帮你搞定这个缺二次项的三次方程（也就是你说的“降次三次方程”）——确实因式定理在这里没用，因为它没有有理根，只能用韦达变换（本质是卡尔达诺解法里的变量替换技巧）来求精确解。

首先，先明确我们的目标方程：$x^3 -6x +7=0$，它属于标准的缺二次项三次方程形式$x^3 + px + q =0$，对应这里的$p=-6$，$q=7$。

步骤1：韦达变量替换 #

韦达变换的核心思路是把$x$拆成两个变量的和，设$x = u + v$，把这个代入原方程：
$$(u+v)^3 -6(u+v) +7 =0$$
展开左边的立方项：
$$u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 -6(u+v) +7 =0$$
整理一下，把含$u+v$的项合并：
$$u^3 + v^3 + 3uv(u+v) -6(u+v) +7 =0$$

步骤2：消去中间项简化方程 #

为了让方程变简单，我们可以让$3uv -6 =0$（这样含$u+v$的项就会消失），由此得到：
$$uv = 2$$
代入整理后的方程，就只剩下：
$$u^3 + v^3 = -7$$

步骤3：构造二次方程求解$u^3$和$v3$ #

现在我们有两个关于$u^3$和$v3$的关系式：

• $u^3 + v^3 = -7$
• $u^3v3 = (uv)^3 = 2^3 =8$

这时候可以把$u^3$和$v3$看作某个二次方程的两个根，根据韦达定理，这个二次方程是：
$$t^2 - (u^3+v3)t + u^3v3 =0$$
代入数值后就是：
$$t^2 +7t +8 =0$$

用二次求根公式解这个方程：
$$t = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 -4\times1\times8}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{2}$$

步骤4：还原得到原方程的精确解 #

由此我们可以得到：
$$u^3 = \frac{-7 + \sqrt{17}}{2}, \quad v^3 = \frac{-7 - \sqrt{17}}{2}$$
（反过来也可以，因为$u+v$是对称的，结果一样）

那么$u$和$v$就是这两个数的立方根，所以原方程的实根就是：
$$x = \sqrt[3]{\frac{-7 + \sqrt{17}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-7 - \sqrt{17}}{2}}$$

补充说明：关于根的个数 #

我们可以用三次方程的判别式验证根的情况：
$$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{-6}{3}\right)^3 = \frac{49}{4} -8 = \frac{17}{4} >0$$
当$\Delta>0$时，三次方程只有一个实根，另外两个是共轭复根，这和你在Desmos里看到的只有一个实根（约-2.901）的情况完全一致——你可以把这个精确解代入计算器计算，结果会和这个近似值匹配。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1193451