关于存在满足伽罗瓦群与Sₙ所有指定共轭类相交的首一不可约整系数多项式的问题咨询

我现在正尝试解决下面这个代数问题：

设$C_1, \ldots, C_m \subseteq S_n$是对称群$S_n$中的共轭类。证明存在一个首一不可约多项式$f \in \mathbb{Z}[x]$，次数为$n$，使得对$f$的根的任意编号，都有$\operatorname{Gal}(f) \cap C_j \neq \emptyset$对所有$j = 1, \ldots, m$成立（这里$\operatorname{Gal}(f)$是$f$的伽罗瓦群）。

首先我得说，我不太确定**“对$f$的根的任意编号”**这部分到底是什么意思。

我的第一个思路是：既然每个共轭类对应$S_n$中某个元素的轨道，那这个元素的轨道所置换的$f$的根（当然是可递的）应该也是某个不可约多项式$f_i$的根，满足$f_i | f$。但这个思路似乎走不通，因为这个$f_i$的次数可能小于$n$，这样一来$f$就不是不可约的了，不符合题目要求。

之后我想到了之前自己证明过的一个结论：

• 对于整数$n$的任意划分$n_1 \leq n_2 \leq \ldots \leq n_r$（满足$\sum_{i=1}^r n_i=n$），存在多项式$f=\prod_{i=1}^r f_i \in \mathbb{F}_p[x]$，其中每个$f_i$都是不可约多项式，且$\deg(f_i)=n_i$对所有$i\in {1,\ldots, r}$成立。

我知道$S_n$中的共轭类完全由元素的轮换类型决定，所以对每个$j\in {1,\ldots,m}$，都存在$\mathbb{F}_p[x]$中的多项式$f$，使得它分解后的不可约因子的次数恰好对应于$C_j$关联的轮换类型。

我目前就想到这些…我知道我大概率需要用到下面这个定理：

设$f\in \mathbb{Z}[x]$是次数为$n$的多项式，$p$是素数，使得$\bar{f}\in \mathbb{F}p[x]$是可分的，且分解为不可约多项式的乘积$\bar{f}=\prod{i=1}^r \bar{f_i}$。那么$\operatorname{Gal}(f) (\leq S_n)$中包含一个不交轮换的乘积$\prod_{i=1}^r c_i$，其中每个轮换$c_i$的长度等于$\deg(\bar{f}_i)$。

但我还没能把这些零散的知识点串联起来，希望能得到一些帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gokimo