有限奇阶群中3阶正规循环子群生成元的交换性证明求助

设$G$是一个元素个数为奇数的有限群，$a$是$G$中3阶元素，由$a$生成的循环子群$H$是$G$的正规子群。证明$a$与$G$中每个元素都可交换。

我目前的思路是这样的：
已知$|a| = 3$，所以$H= { e, a,a^2}$。

任取$G$里的任意元素$g$，因为$H$是$G$的正规子群，所以$gag^{-1} \in H$，进一步能推出$ga\in {g,ag,a^2g}$。

• 如果$ga = g$，那就能得到$a=e$，这和$a$是3阶元素矛盾，所以这种情况不可能；
• 如果$ga = ag$，那$a$和$g$就可交换，这正是我们要证的；

现在卡在了怎么证明$ ga \ne a^2g$这一步，我知道应该要用到群的阶是奇数这个条件，但就是想不通怎么用。有没有大佬能给点提示或者解法，或者有没有更巧妙的思路来解决这个问题呀？提前谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ビキ マンダル