黑白立方体分配给儿童的计数问题求解

嘿，咱们一步步来解决这个立方体分配问题吧——我们可以把黑色和白色立方体的分配分开算，因为它们是独立的，最后再把结果相乘就能得到总共有多少种合法的分配方式啦。

黑色立方体的分配方式 #

我们有8个黑立方体要分给3个孩子，每个孩子至少得拿到2个。先简化一下：如果先给每个孩子分2个黑立方体，这样就用掉了6个，剩下8-6=2个黑立方体可以自由分配（每个孩子可以拿0个或多个额外的）。

这时候问题就转化为求非负整数解的数量：x' + y' + z' = 2（x', y', z'代表每个孩子额外拿到的黑立方体数量）。用“星与条”公式计算，解的数量是C(2+3-1, 3-1) = C(4,2) = 6种。我们也可以直接列举出来验证：

• 其中一个孩子拿4个黑立方体，另外两个拿2个：有3种分配方式（取决于哪个孩子拿到4个）
• 其中一个孩子拿2个黑立方体，另外两个拿3个：有3种分配方式（取决于哪个孩子拿到2个）
  加起来正好是6种，和题目里提到的一致。

白色立方体的分配方式 #

接下来是5个白立方体，分给3个孩子，每个孩子最多拿3个。我们可以先算所有无限制的分配方式，再减去不符合条件的（也就是有孩子拿到4个或更多的情况）。

无限制情况下，非负整数解的数量是C(5+3-1, 3-1) = C(7,2) = 21种。现在减去无效的情况：

• 如果某个孩子拿到4个或更多，先给这个孩子4个，剩下5-4=1个自由分配，每个孩子对应的这种情况有C(1+3-1, 3-1) = 3种解。3个孩子的话就是3×3=9种无效分配。
• 这里没有重复计算的情况，因为两个孩子不可能同时拿到4个或更多（4+4=8>5，总共有5个白立方体，根本不够分）。

所以合法的白色立方体分配方式是21-9=12种。我们也可以列举出来确认：

• (0,2,3)的排列：6种（三个数都不同，全排列）
• (1,1,3)的排列：3种（哪个孩子拿到3个）
• (1,2,2)的排列：3种（哪个孩子拿到1个）
  加起来6+3+3=12种，和之前的计算结果一致。

总分配方式 #

因为黑色和白色立方体的分配是独立的，所以总共有6×12=72种合法的分配方式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brian