寻找满足特定可定义集性质的∈-公式φ(x)

嘿，这个问题其实有很直接的解决方案，咱们来一步步拆解清楚：

首先明确你的核心需求：找一个$\in$-公式$\phi(x)$，使得：

• 对任意一元谓词$p(y)$，ZFC都能证明：如果$x$是恰好由$p$定义的集合（即$\forall y (y \in x \leftrightarrow p(y))$），那么$\phi(x)$成立；
• 但ZFC不能证明$\phi(x)$对所有$x$都成立（也就是存在ZFC的模型，其中有某个$x$不满足$\phi(x)$）。

一个完美的候选公式：$\phi(x) = $ "x属于哥德尔可构造宇宙L" #

我们来验证它满足两个条件：

1. 满足第一个条件：
   假设$p(y)$是任意一个一元谓词，如果ZFC证明$\forall y (y \in x \leftrightarrow p(y))$，那么这个$x$是不带参数可定义的集合。而哥德尔可构造宇宙$L$的关键性质之一就是：所有不带参数可定义的集合都属于$L$（因为$L$是通过逐层构造可定义集合得到的，不带参数的定义在$L$的构造过程中是绝对的）。因此ZFC必然能推出：如果$x$由$p$定义，那么$x \in L$，也就是$ZFC \vdash \forall y (y \in x \leftrightarrow p(y) ) \to \phi(x)$成立。
2. 满足第二个条件：
   我们知道，$V \neq L$（即存在不在$L$中的集合）是与ZFC一致的——哥德尔和科恩的工作告诉我们，ZFC既不能证明$V=L$，也不能证明$V \neq L$。也就是说存在ZFC的模型，其中有集合不属于$L$，因此ZFC无法证明$\phi(x)$对所有$x$成立（即$ZFC \not\vdash \phi(x)$）。

关于你之前的思路和点可定义模型的疑问 #

你之前考虑用连续统相关的性质，思路方向是对的，但选的例子不合适。而关于点可定义模型（即模型中每个元素都能被不带参数公式定义），这类模型确实存在，但它们并不影响我们的结论：

• 点可定义模型中所有集合都满足$\phi(x)=x \in L$吗？其实不一定，但即便如此，ZFC仍然不能证明$\phi(x)$对所有$x$成立，因为存在其他模型（比如$V \neq L$的模型）不满足这一点。点可定义模型只是ZFC的一类特殊模型，而我们需要的是$\phi(x)$在所有“可定义集合”上成立，但在某些模型的不可定义集合上不成立——这完全符合要求。

另一个备选："x是可定义的" #

你也可以选择$\phi(x)$为“$x$是不带参数可定义的”这个$\in$-公式（用哥德尔编码可以形式化这个性质）：

• 显然，任何由$p(y)$定义的$x$都满足这个性质，因此第一个条件成立；
• ZFC不能证明所有集合都是可定义的，因为任何不可数的ZFC模型中，可定义集合只有可数个，必然存在不可定义的集合，因此第二个条件也成立。

不过相比之下，$x \in L$这个例子更简洁，也更贴合你最初的思路方向。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者vava123