特征函数推导中积分式化简为erfc的代换方法问询
Hey Jord, 这个积分化简的关键是变量代换+拆分被积函数+利用已知的高斯型积分公式，我一步步给你拆解清楚：
第一步：做变量代换简化积分
先定义一个新变量把积分里的高斯项标准化：
$$t = v\sigma\sqrt{\frac{\tau_k}{2}}$$
这样原高斯项$e{-\frac{1}{2}\sigma2v2\tau_k}$就变成$e{-t^2}$，同时算出微分$\text{d}v = \frac{\text{d}t}{\sigma\sqrt{\tau_k/2}}$，代入原积分后，分母可以整理为：
$$v - i\frac{\mu}{\sigma^2} = \frac{t}{\sigma\sqrt{\tau_k/2}} - i\frac{\mu}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma\sqrt{\tau_k/2}}\left(t - i\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\frac{\tau_k}{2}}\right)$$
令$a = \frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\frac{\tau_k}{2}}$（这正好是右边erfc里的自变量），代入后原积分会被大幅简化：
$$\int_{-\infty}{\infty}e{-\frac{1}{2}\sigma2v2\tau_k}\frac{\text{d} v}{v - i\mu / \sigma^2} = \int_{-\infty}{\infty}\frac{e{-t^2}}{t - ia}\text{d}t$$第二步：拆分被积函数消去奇函数部分
把$\frac{1}{t - ia}$有理化，拆成实部和虚部：
$$\frac{1}{t - ia} = \frac{t + ia}{t^2 + a^2} = \frac{t}{t^2 + a^2} + i\frac{a}{t^2 + a^2}$$
代入积分后，第一项$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{t e{-t2}}{t^2 + a^2}\text{d}t$是奇函数（分子是奇函数，分母是偶函数，整体是奇函数），在对称区间上积分结果为0，所以只剩下虚部的积分：
$$\int_{-\infty}{\infty}\frac{e{-t^2}}{t - ia}\text{d}t = ia\int_{-\infty}{\infty}\frac{e{-t2}}{t2 + a^2}\text{d}t$$第三步：利用已知积分公式对接erfc
这里需要用到一个常用的高斯型积分公式（可以通过围道积分或分部积分推导，也能在积分表中查到）：
$$\int_{-\infty}{\infty}\frac{e{-t2}}{t2 + a^2}\text{d}t = \frac{\pi}{a}e{a2}\text{erfc}(a)$$
把这个公式代入上一步的结果，得到：
$$\int_{-\infty}{\infty}\frac{e{-t^2}}{t - ia}\text{d}t = ia \times \frac{\pi}{a}e{a2}\text{erfc}(a) = i\pi e{a2}\text{erfc}(a)$$第四步：代回原表达式化简
把这个积分结果代回左边的原式：
$$\frac{i}{2\pi}e{-a2} \times i\pi e{a2}\text{erfc}(a) + 1$$
这里$e{-a2}$和$e{a2}$抵消，$i \times i = -1$，$\frac{i\pi}{2\pi} = \frac{1}{2}$，所以化简后：
$$-\frac{1}{2}\text{erfc}(a) + 1 = 1 - \frac{1}{2}\text{erfc}\left(\frac{\mu}{\sigma}\sqrt{\frac{\tau_k}{2}}\right)$$
正好和右边的结果一致！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jord van Eldik
