关于康托尔集自同胚群Homeo(C)的相关问题及文献咨询

嘿，关于康托尔集的自同胚群$\text{Homeo}(C)$，确实是个充满趣味的研究方向，我来给你梳理下目前已知的一些结论和值得参考的资料：

一、元素分类与群的极限表示 #

你提到的元素精细分类确实难度很大，目前还没有完整的分类结果。不过$\text{Homeo}(C)$可以通过逆极限/递增极限群的视角来刻画：

• 康托尔集可以等价表示为无限乘积空间$2^{\mathbb{N}$（或更一般的${1,2,...,n}}\mathbb{N}$），$\text{Homeo}(C)$和这类乘积空间的自同胚群密切相关；
• 从构造角度看，我们可以考虑一系列“保持Cantor集有限分割”的自同胚群：比如先把Cantor集分成2个闭区间块，考虑所有保持这个分割的自同胚；再把每个块再分成2份，得到更精细的分割对应的自同胚群……$\text{Homeo}(C)$就是这些群在一致拓扑下的闭包，相当于这些有限分割自同胚群的极限。

二、同调性质 #

关于$\text{Homeo}(C)$的同调，目前的结果相对零散，但有几个关键结论：

• 它的整系数一阶同调群$H_1(\text{Homeo}(C);\mathbb{Z})$是平凡的；
• 作为波兰群（完备可分度量群），用Borel同调研究它的工作有一些进展，但整体来说这方面的研究还不算充分，没有全面的同调群刻画。

三、与Thompson/Higman-Thompson群的联系 #

这个关联确实非常紧密：

• 经典的Thompson群$V$（也就是Higman-Thompson群$V_2$）是$\text{Homeo}(C)$的稠密子群（在一致拓扑下）；
• 更一般的Higman-Thompson群$V_n$（对应$n$叉树的自同构）也都可以嵌入到$\text{Homeo}(C)$中并成为稠密子群；
• 甚至可以说，$\text{Homeo}(C)$在某种意义上是这些Higman-Thompson群的“拓扑闭包”，这也是两者经常被放在一起研究的核心原因。

四、推荐参考资料 #

如果想深入学习，这些资料会很有帮助：

• 《Thompson's Groups》（由Cannon、Floyd、Parry等人撰写）：这本书详细讲解了Thompson群$V$与$\text{Homeo}(C)$的关联，是入门的好选择；
• 《Handbook of Set-Theoretic Topology》：其中专门有一节介绍Cantor集自同胚群的拓扑与群论基本性质；
• Higman关于Higman-Thompson群的原始论文：能帮你理解这类群和$\text{Homeo}(C)$联系的起源；
• 标题包含“Automorphism groups of Cantor sets”的相关论文：这类论文会覆盖$\text{Homeo}(C)$的结构、同调等更深入的问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nicolas Guès