关于含非负整数参数的Gamma函数乘积式化简的技术问询

我最近一直卡在化简如下形式的Gamma函数乘积上：
$$\frac{\Gamma(l+1+ix)}{\Gamma(l+1-ix)}\frac{\Gamma(1-ix)}{\Gamma(1+ix)}, $$
其中 $l\in\mathbb{N}_0 $。我已经试过维基百科上Gamma函数的所有公式组合来尝试化简，但都没成功。我预期结果会和$l$有关。有没有人能给点思路或提示？谢谢！

嘿，这个问题其实抓准Gamma函数的递推关系就能快速突破，我给你一步步拆解：

首先回忆Gamma函数的核心递推公式：$\Gamma(z + n) = z(z+1)(z+2)\cdots(z+n-1)\Gamma(z)$，这里$n$是正整数，$z$是任意复数。我们可以用这个公式把带$l$的Gamma函数展开：

• 对于$\Gamma(l+1+ix)$，把它看成$\Gamma((1+ix) + l)$，代入递推公式得：
  $$\Gamma(l+1+ix) = (1+ix)(2+ix)\cdots(l+ix)\Gamma(1+ix)$$
• 同理，$\Gamma(l+1-ix) = (1-ix)(2-ix)\cdots(l-ix)\Gamma(1-ix)$

现在把这两个展开式代入原式，你会发现神奇的事情：
$$
\frac{(1+ix)(2+ix)\cdots(l+ix)\Gamma(1+ix)}{(1-ix)(2-ix)\cdots(l-ix)\Gamma(1-ix)} \times \frac{\Gamma(1-ix)}{\Gamma(1+ix)}
$$
$\Gamma(1+ix)$和$\Gamma(1-ix)$直接就约掉了！剩下的就是一个非常简洁的有限乘积：
$$
\prod_{k=1}^l \frac{k+ix}{k-ix}
$$

到这里已经完成了核心化简，而且明显能看到结果和$l$直接相关，符合你的预期。如果需要进一步变形，还可以做这些处理：

• 代数形式：把每个分式的分子分母同乘$(k+ix)$，展开后得到：
  $$
  \prod_{k=1}^l \frac{k^2 - x^2 + 2ikx}{k^2 + x^2} = \prod_{k=1}^l \left( \frac{k^2 - x^2}{k2 + x^2} + i\frac{2kx}{k^2 + x^2} \right)
  $$
• 极坐标形式：注意到$\frac{k+ix}{k-ix}$的模是1（因为分子分母的模都是$\sqrt{k^2+x2}$），辐角是$2\arctan\left(\frac{x}{k}\right)$，所以整个乘积可以写成指数形式：
  $$
  e^{{i2\sum_{k=1}}l \arctan\left(\frac{x}{k}\right)}
  $$

最后验证一下特殊情况：当$l=0$时，原式是空乘积，结果为1，和原式直接计算的结果一致，说明这个化简是对的。

如果你需要把结果转换成其他形式（比如用双曲函数或者对数Gamma函数），可以再补充需求哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mmar