关于概率论中事件的依赖关系是否为等价关系的技术问询

嘿，这个问题问到点子上了！咱们先回忆一下等价关系的三个核心判定条件：自反性、对称性、传递性，然后逐个拆解事件依赖关系D（这里定义xDy为事件x与y不独立，即P(x∩y) ≠ P(x)P(y)）是否满足这些条件。

1. 自反性：事件和自身一定依赖吗？ #

答案是不一定。等价关系要求任意元素都和自身满足关系（即xDx对所有事件x成立），但这里存在反例：

• 如果事件x的概率P(x)=0或P(x)=1，那么P(x∩x)=P(x)=P(x)×P(x)，也就是x和自身是独立的，不满足xDx；
• 只有当0 < P(x) < 1时，P(x∩x)=P(x) ≠ P(x)×P(x)（因为P(x)不是0或1），这时候才满足xDx。

仅这一点就已经能说明D不是等价关系了，但咱们还是把另外两个性质说清楚，彻底解决你的疑问。

2. 对称性：xDy当且仅当yDx？ #

这个是成立的。因为交集运算满足交换律：P(x∩y)=P(y∩x)，所以P(x∩y)≠P(x)P(y)和P(y∩x)≠P(y)P(x)是完全等价的命题，依赖关系的对称性自然成立。

3. 传递性：若xDy且yDz，是否一定有xDz？ #

答案是不成立，咱们直接举一个直观的反例：
假设我们扔两个独立的公平硬币（Coin1和Coin2），定义三个事件：

• x：Coin1掷出正面（H），P(x)=1/2
• y：两枚硬币至少有一个正面，P(y)=3/4
• z：Coin2掷出正面（H），P(z)=1/2

现在验证：

• xDy：P(x∩y)是Coin1为正的概率（不管Coin2是什么），即1/2；而P(x)×P(y)=1/2 × 3/4=3/8，显然1/2≠3/8，所以x和y依赖；
• yDz：P(y∩z)是Coin2为正的概率，即1/2；而P(y)×P(z)=3/4 ×1/2=3/8，1/2≠3/8，所以y和z依赖；
• xDz：因为两枚硬币独立，P(x∩z)=P(HH)=1/4，而P(x)×P(z)=1/2×1/2=1/4，两者相等，说明x和z独立，也就是xDz不成立。

这个例子直接打破了传递性，所以依赖关系不满足等价关系的第三个要求。

结论 #

事件的依赖关系D不是等价关系，因为它不满足自反性和传递性，仅满足对称性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ysf Dx