含可替换符号E的三面骰子序列的最优有损熵编码技术问询

我们知道，用算术编码可以给独立的偏置硬币翻转序列编码，做到每翻转不到1比特的效率。比如一个正面概率$p=0.8$的硬币，我们可以用熵值$H_b(p)=-p\log_2\left(p\right)-(1-p)\log_2\left(1-p\right)\approx 0.7$比特来编码每一次翻转，这是理论最小值。

现在考虑一个有三个面的骰子，面分别是$H$（正面）、$T$（反面）、$E$（任意）。这里的核心是，编码的时候我们可以选择把$E$替换成$H$或者$T$——这属于有损压缩，因为我们会丢失原始序列中哪些位置是$E$的信息。

举个具体例子：

假设$p_H=p_T=p_E=\frac{1}{3}$，待编码序列是$S=EHTETHETET...$

第一种基础编码方法：

• 直接把所有$E$替换成$H$，得到序列$S'=HHTHTHHTHT...$，然后用算术编码处理，此时$H$的有效概率$p_H'=\frac{2}{3}$，这种方法大概需要0.92比特/次骰子投掷。

第二种更优的分组编码方法：
更好的策略是把连续的投掷两两分组，然后按照如下规则替换：

处理后得到$S'=HHTTTHTTTT...$，再对分组后的结果用算术编码。此时分组的概率分布为$p_{TT}'=\frac{4}{9}$，$p_{HH}'=\frac{3}{9}$，$p_{HT}'=p_{TH}'=\frac{1}{9}$，计算下来大概需要0.88比特/次骰子投掷，比第一种方法更高效。

我现在有两个核心问题想请教：

1. 给定概率$p_H,p_T,p_E$（满足$p_H+p_T+p_E=1$），编码这样的骰子序列，每一次投掷最少需要多少比特？
2. 是否存在（实用的）编码和解码算法，能够（接近）达到这个最优效率？

我自己尝试过用谷歌和ChatGPT查找这个问题的名称，也查看了一些标记为「压缩」的相关问题，但除了考虑分块编码的思路之外，不知道该怎么进一步入手。另外我推导了一个比特数的平凡下界：$(1-p_E)H_b(\frac{p_H}{p_H+p_T})$，这个下界的推导思路是假设解码器拥有额外信息——知道原始序列中所有$E$的位置。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AnttiP