非无挠幂元群是否可有限表现？

背景与动机 #

几年前我经常研究组合群论的时候，萌生了一个想法：如果群中的某个元素有有限阶 $n$，那么这个群里是否存在阶为 $n$ 的每个幂次的元素？

基于这个想法，我给出了如下定义：

定义：设 $G$ 是一个群。如果对任意 $n\in\Bbb N$，只要 $G$ 中存在元素 $g$ 满足 $|g|=n$，那么对任意 $m\in\Bbb N$，$G$ 中至少存在一个元素 $h_m$ 使得 $|h_m|=n^m$，则称 $G$ 为幂元群（powerful-element group）。

这类群是存在的，比如：

• $G=\Bbb Z$（整数加法群）
• 对素数 $p$，$G=\prod_{m=1}^\infty \Bbb Z_{p^m}$（各阶 $p$ 幂次循环群的直积）

核心问题 #

设 $G$ 是一个非无挠的幂元群（即 $G$ 中存在有限阶的挠元素），那么 $G$ 是否可以是有限表现的？

我的思路与尝试 #

首先可以确定的是，这样的群一定是无限群。

我曾经以为找到了一个有限生成、非无挠的幂元群，候选群构造如下：

取素数 $p$，考虑由如下表现定义的群 $Q$：
$$Q=\langle a,b\mid a^p, {(b^mab{-m})^{pm}\mid m\in\Bbb N}\rangle.$$

但这个例子并不成立，我之前也针对这个问题做过相关探讨，结果证明它不符合要求。

现在我陷入了困境，我的猜测是不存在这样的有限表现群，但也不排除存在的可能——目前我还没有明确的结论。

个人背景 #

其实这类问题我觉得如果有足够的时间和运气，自己应该能解决。毕竟我在攻读博士学位的阶段（后来因为一些原因转为了硕士）做了很多组合群论的研究，但现在我正在攻读线性代数群方向的研究生学位，时间上实在抽不开身。

我期望得到一个完整的解答，不过考虑到组合群论里有些问题看似简单实则极难，这个要求可能有点高。

恳请大家帮忙解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Shaun