傅里叶级数重排等价性证明的困惑求助

各位大佬好，我现在卡在一个傅里叶级数的证明问题上，想请大家帮忙看看哪里出问题了🥺

问题是这样的：
已知 $f \in C(\mathbb{R}/\mathbb{Z};\mathbb{C})$，对于 $n=0,1,2,3,...$，定义三角函数形式的傅里叶系数：
$$a_n=2\int_0^1f(x)\cos(2\pi nx)dx, b_n=2\int_0^1f(x)\sin(2\pi nx)dx.$$
需要证明 $f$ 的傅里叶级数 $\sum_{n=-\infty}^\infty\hat{f}(n)e_n$ 可以重排为：
$$\frac{1}{2}a_0+\sum^\infty_{n=1}(a_n\cos(2\pi nx)+b_n\sin(2\pi nx)).$$

我目前的推导过程是这样的：
$$\sum^\infty_{n=-\infty}\hat{f}(n)e_n$$
$$=\sum^{\infty_{n=-\infty}\int_0}1f(x)e^{-2\pi inx}dxe_n$$
$$= 2\sum^\infty_{n=1} \left[\int_0^1f(x)\cos(2\pi nx)dx-i\int_0^1f(x)\sin(2\pi nx)dx\right](\cos(2\pi nx)+i\sin(2\pi nx))$$
$$= 2\sum^\infty_{n=1}\left[\cos(2\pi nx)\int_0^1f(x)\cos(2\pi nx)dx+\sin(2\pi nx)\int_0^1f(x)\sin(2\pi nx)dx+i\sin(2\pi nx)\int_0^1f(x)\cos(2\pi nx)dx-i\cos(2\pi nx)\int_0^1f(x)\sin(2\pi nx)dx\right]$$
$$= \sum^\infty_{n=1}[a_n\cos(2\pi nx)+b_n\sin(2\pi nx)]+2i\sum^\infty_{n=1}\left[\sin(2\pi nx)\int_0^1f(x)\cos(2\pi nx)dx-\cos(2\pi nx)\int_0^1f(x)\sin(2\pi nx)dx\right]$$

可是最后这部分带虚数i的项怎么都消不掉，我是不是哪里漏了步骤？比如是不是应该先把n取负数的情况单独拿出来合并处理？麻烦大家帮我看看问题出在哪，谢谢啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Albibi