关于至多一个失效的n关联策略的概率特性及随机策略成功概率的技术问询

先给你梳理下这个广义囚犯/帽子/箱子类逻辑谜题的核心设定：

• 集合 W：代表所有可能的世界配置
• 集合 S：代表所有可能的个体策略
• 关系 C⊆W×S：定义个体成功的判定标准——当且仅当 (w,s)∈C 时，在世界配置w下采用策略s的个体能够成功

现在我们有一组解 (s₁,…,sₙ)∈Sⁿ，它满足一个核心性质：对于任意的世界配置w∈W，这n个策略里最多只有一个会失效，用符号严谨表述就是：
$$\forall w\in W, |{j\in{1,\dots,n}:(w,s_j)\notin C}|\le1$$

直观来看，如果我从这n个策略里均匀随机选一个（每个sⱼ被选中的概率为1/n），然后按照选中的策略行动，那我失败的概率应该最多是1/n对吧？这个结论真的成立吗？

有意思的是，针对同类特定谜题的相关讨论中，有观点认为这个结论并不成立。他们的核心逻辑是：要回答这个问题，必须先给W×S定义一个概率测度，而且C这个成功事件得是可测的——这就是争议的核心所在。

但我一直在思考：我们真的需要把W纳入概率空间吗？毕竟我们从未假设过W本身带有随机性啊。这个随机策略本质上就是给S定义了一个概率测度ℙ：给每个s₁,…,sₙ分配1/n的概率质量，其余策略的概率为0。而且对于每一个w∈W，事件C_w={s∈S:(w,s)∈C}都是ℙ可测的子集。

现在我们已经明确拥有这个关键条件：
$$\forall w\in W,\Bbb P(C_w)\ge\frac{n-1}n$$

这不就足以支撑“这个随机策略的成功概率至少为(n-1)/n”这个直观结论吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Karl