关于L^∞(0,T;H)∩L²(0,T;V)空间中非线性项(u·∇)u的积分估计步骤的技术问询

你提到的这个估计是Navier-Stokes方程正则性分析里的核心基础推导，我来一步步拆解每个不等式的逻辑，尽量用直观的方式解释：

1. 式(1)：Holder不等式的直接应用 #

首先回忆Holder不等式：对可积函数$f,g$，若$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$（$p,q$为共轭指数），则对任意$r>0$有$|fg|{L^r} \leq |f|{L^{rp}} |g|_{L^{rq}}$。

我们要估计的是$|(u·∇)u|_{L^{6/5}}$，先看单个分量：$(u·∇)u_i = \sum_j u_j \partial_j u_i$，单个项$u_j \partial_j u_i$的$L^{6/5}$范数可以写成$\left( \int |u_j \partial_j u_i|^{6/5} dx \right)^{5/6}$，也就是$\left( \int |\nabla u|^{6/5} |u|^{6/5} dx \right)^{5/6}$（省略分量求和不影响最终有界性，因为范数的次可加性可以把求和的范数控制在范数的和里）。这里取$r=6/5$，$p=5/3$，$q=5/2$（刚好满足共轭指数条件），直接套用Holder不等式就得到了式(1)。

2. 式(2)：再次用Holder不等式（指数匹配技巧） #

我们把积分$\int |\nabla u|^{6/5} |u|^{6/5} dx$改写为$\int \left( |\nabla u|^2 \right)^{3/5} \left( |u|^3 \right)^{2/5} dx$，这里$3/5 + 2/5 = 1$，刚好符合Holder不等式的另一种形式：$\int f^a g^b dx \leq \left( \int f dx \right)^a \left( \int g dx \right)^b$（当$a+b=1$时）。

代入后就有：
$$\int \left( |\nabla u|^2 \right)^{3/5} \left( |u|^3 \right)^{2/5} dx \leq \left( \int |\nabla u|^2 dx \right)^{3/5} \left( \int |u|^3 dx \right)^{2/5}$$
两边同时取$5/6$次方，指数计算后就得到：
$$\left( \int |\nabla u|^{6/5} |u|^{6/5} dx \right)^{5/6} \leq \left( \int |\nabla u|^2 dx \right)^{1/2} \left( \int |u|^3 dx \right)^{1/3}$$
这就是式(2)，写成范数形式就是式(3)。

3. 式(4)：L^p空间的插值不等式（Gagliardo-Nirenberg） #

在3维有界域$\Omega$上，对于$u \in H^{1(\Omega)$，我们可以用**Gagliardo-Nirenberg插值不等式**来联系不同$L}p$范数。对于$q=3$，我们需要找到$\theta$使得：
$$\frac{1}{3} = \frac{1-\theta}{2} + \frac{\theta}{6}$$
解这个方程得到$\theta=1/2$，因此：
$$|u|{L^3} \leq C |u|{L^2}{1/2} |u|_{L^6}{1/2}$$
这就是式(4)的来源，本质是利用中间$L^{3$范数可以用$L}2$和$L^6$范数插值得到。

4. 式(5)：Sobolev嵌入定理的应用 #

3维有界域上的Sobolev嵌入定理告诉我们：$H^1(\Omega) \hookrightarrow L^{6(\Omega)$，也就是存在常数$C>0$，使得$|u|_{L}6} \leq C |u|{H^{1}$（这里$|u|_{H}1} = \sqrt{|u|{L^2}2 + |\nabla u|_{L^2}2}$）。

同时显然$|\nabla u|{L^2} \leq |u|{H^{1}$，$|u|_{L}2} \leq |u|{H^1}$，把这些代入式(4)的结果：
$$|\nabla u|{L^2} |u|{L^2}{1/2} |u|{L^6}{1/2} \leq C |u|{H^1} \cdot |u|{L^2}{1/2} \cdot |u|{H^1}{1/2} = C |u|{H^1}{3/2} |u|_{L^2}{1/2}$$
这就得到了式(5)。

5. 式(6)：幂次运算+已知空间的正则性分析 #

首先把式(5)代入$|(u·∇)u|{L^{6/5}}$，两边取$4/3$次方：
$$|(u·∇)u|{L^{6/5}}{4/3} \leq C \left( |u|{H^1}{3/2} |u|{L^2}{1/2} \right)^{4/3} = C |u|{H^1}2 |u|{L^2}{2/3}$$
对$t \in (0,T)$积分后，右边的积分有限性来自两个已知条件：

• 因为$u \in L^{\infty(0,T;H)$，所以$|u(t)|_{L}2} = |u(t)|H$在$(0,T)$上有界，即$|u(t)|{L^2}{2/3}$是一个有界常数；
• 因为$u \in L^2(0,T;V)$，而$V = H \cap (H^1_0)3$，所以$|u(t)|_{H^1} = |u(t)|V$，因此$\int_0^T |u(t)|{H^1}2 dt < \infty$。

有界常数乘以有限积分的结果还是有限的，因此左边的积分也有限，这就证明了$(u·∇)u \in L^{4/3}(0,T;L{6/5})$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者CBBAM