关于沃利斯乘积重排合法性的技术问询

嘿，这个问题问得特别到位——无限乘积的“重排”可比有限乘积挑剔多了，咱们一步一步拆解清楚：

为什么式(2)不是式(1)的合法重排？ #

核心问题出在无限乘积的收敛规则和你对原始表达式的错误截断：

• 先看原始的式(1)，它的完整收敛逻辑依赖于“带截断项的部分积”：当取前N组项时，正确的部分积应该是：
  $$
  P_N = \frac{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2N \cdot 2N}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2N-1) \cdot (2N-1) \cdot (2N+1)}
  $$
  当$N \to \infty$时，这个$P_N$才会趋向$\pi/4$。
• 你重排成式(2)的时候，相当于直接去掉了分母末尾的$(2N+1)$项，把部分积写成了：
  $$
  Q_N = 2 \cdot \prod_{i=1}^N \left( \frac{2i+2}{2i+1} \right)^2 = \frac{2 \cdot 4^2 \cdot 6^2 \cdot \dots \cdot (2N+2)^2}{32 \cdot 5^2 \cdot \dots \cdot (2N+1)^2}
  $$
  这个$Q_N$其实是$P_N$乘以$\frac{(2N+2)^2}{2N+1}$，当N增大时，这个乘数会趋向无穷大，所以$Q_N$是发散到无穷的——这就是你用10项计算得到17.675的原因，它根本不是趋向$\pi/4$的序列。
• 本质上，你把无限乘积当成有限乘积随意拆分，忽略了原始表达式中隐含的“收敛刹车”$(2N+1)$，导致重排后的乘积失去了收敛性。另外，式(2)里的每一项$\left( \frac{2i+2}{2i+1} \right)^2$都大于1，无限个大于1的项相乘，只要它们趋近于1的速度不够快（这里$\ln\left( \left(1+\frac{1}{2i+1}\right)^2 \right) \approx \frac{1}{i}$，对应的对数级数发散），整个乘积就会发散。

为什么式(3)（沃利斯乘积）是合法的？ #

沃利斯乘积的巧妙之处在于它的项是成对平衡组合的，完美保留了收敛性：

• 式(3)的每一项$\frac{4n^2}{4n2-1} = \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)}$，可以拆成$\left( \frac{2n}{2n-1} \right) \cdot \left( \frac{2n}{2n+1} \right)$——一个略大于1的因子，搭配一个略小于1的因子，两者的乘积略大于1，但趋近于1的速度足够快（$\frac{4n^2}{4n2-1} = 1 + \frac{1}{4n^{2-1}$，对应的对数项$\ln(1+\frac{1}{4n}2-1}) \approx \frac{1}{4n^2}$，而$\sum \frac{1}{n^2}$是收敛的）。
• 把式(1)的正确部分积$P_N$和沃利斯乘积对比，你会发现：
  $$
  P_N = \frac{1}{2} \cdot \prod_{n=1}^N \frac{4n^2}{4n2-1}
  $$
  当$N \to \infty$时，右边的沃利斯乘积趋向$\pi/2$，所以$P_N$自然趋向$\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$，和式(1)的目标完全一致。这说明沃利斯乘积只是把式(1)的项做了等价的成对组合，没有改变乘积的收敛趋势，所以是合法的重排。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kedar Mhaswade