关于Rudin定理2.38的两个疑问：区间定义与空区间的合法性问题

Theorem 2.38 in Rudin says the following:
If ${I_n}$ is a sequence of intervals in $\mathbb{R}^1$, such that $I_n \supset I_{n+1}$ ($n=1,2,3, \ldots$), then $\bigcap\limits_{i=1}^n I_n$ is not empty.

第一个疑问：对“interval”的解读是否正确？ #

你完全没猜错！Rudin在这里提到的“interval”确实特指闭有界区间（也就是形如$[a,b]$，其中$a \leq b$的区间）。你举的例子$I_n = \left(0, \frac{1}{n}\right)$就是最直观的反证：这是一串递缩的开区间，但它们的交集是空集，完全不符合定理的结论。

其实Rudin在证明里只聚焦闭区间的做法已经暗示了这一点——这个定理本质上就是实数完备性公理中的嵌套区间定理，而嵌套区间定理的核心前提就是区间是闭且有界（同时非空）的。可能Rudin在书的上下文或者更早的定义中，在这类定理的语境下默认“interval”指闭有界区间，所以没有特意强调，但你的判断绝对是准确的。

第二个疑问：空区间的合法性问题 #

你的这个观察非常到位！首先，空集$\emptyset$虽然可以被看作是退化的开区间（比如$(a,a)$），但它并不属于嵌套区间定理的讨论范畴。

定理的前提$I_n \supset I_{n+1}$如果允许某个$I_n$是空集，那么后续所有$I_m$（$m > n$）也必须是空集，这时候交集自然是空的，确实会打破定理结论。但实际上，Rudin的这个定理隐含了一个关键前提：所有的$I_n$都是非空的。嵌套区间定理的核心是描述实数的完备性，讨论的是非空递缩闭区间的交集性质，空区间不在这个讨论范围内。所以严格来说，那些包含空区间的序列并不满足定理的“真正前提”——虽然形式上符合$I_n \supset I_{n+1}$，但违背了定理要讨论的非空闭区间的语境。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cardinality