开道路连通集的边界点与道路连通性保持问题

大家好，咱们来拆解这个拓扑学问题：假设$X$是一个道路连通的度量空间，$U$是$X$里的非空、真包含的开道路连通子空间——现在要问的是：是不是一定存在某个边界点$x\in\partial U$，让$U$加上这个点之后，$U\cup{x}$仍然保持道路连通？

先铺垫下已知的结论：

• 首先确实存在反例：有些边界点$x\in\partial U$，添上之后$U\cup{x}$会失去道路连通性；
• 而像$\mathbb{R}^n$这类欧氏空间里，不管你取什么样的$U$，总能找到这样的边界点$x$，让$U\cup{x}$还是道路连通的。

但回到核心问题：是不是所有满足条件的$X$和$U$都有这样的点？答案是否定的，咱们可以构造一个经典的反例：

考虑$X$是拓扑正弦曲线的闭包——也就是由所有$(t, \sin(1/t))$（其中$t\in(0,1]$）的点，再加上$y$轴上的线段${(0, y)\mid y\in[-1,1]}$组成的集合，这个$X$是道路连通的度量空间。

然后取$U$为$X$中$t>0$的部分，也就是$U={(t, \sin(1/t))\mid t\in(0,1]}$。显然$U$是$X$里的非空开集，而且本身是道路连通的，同时是$X$的真子空间。

现在看$U$的边界$\partial U$，就是$y$轴上的那整条线段${(0,y)\mid y\in[-1,1]}$。现在随便挑一个边界点$x=(0,y_0)$，咱们来看看$U\cup{x}$是不是道路连通的：

假设存在一条连续道路$f:[0,1]\to U\cup{x}$，一端连$x$，另一端连$U$里的任意点（比如$(1,\sin1)$）。但问题在于，$U$里的点靠近$y$轴时，$\sin(1/t)$会在$-1$到$1$之间无限震荡，根本没法用一条连续路径把$(0,y_0)$和$U$里的点连起来——任何尝试连接的路径都会因为这种震荡无法保持连续性。也就是说，不管选哪个边界点$x$，$U\cup{x}$都不是道路连通的。

这个例子就说明，并不是所有情况下都存在这样的边界点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jakobian