关于Rudin中ℝⁿ有界子集包含于k-胞腔的推导疑问
嘿，我完全理解你在Rudin海涅-博雷尔定理开头卡壳的点——从有界性推导到包含在k-胞腔里确实需要一个小的不等式过渡，我来帮你把这个逻辑链理清楚：
首先你对Rudin中ℝⁿ有界集的定义猜测是完全正确的：他确实将ℝⁿ中的有界集定义为：
$$\exists M > 0, ; \forall x \in E \subset \mathbb{R}^n, ; |x| < M$$
这里的$|x|$就是欧几里得范数，也就是你写的$\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}$。
接下来的关键是从范数的有界性推导出每个分量的有界性，这里要用到一个非常基础的不等式：对任意$x=(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n$，每个分量的绝对值都不超过该点的欧范数，即：
$$|x_i| \leq |x| \quad \forall i=1,2,...,n$$
这个不等式的道理很简单：因为$|x|=\sqrt{x_12+x_22+...+x_n2}$，而根号里的每一项都是非负的，所以$\sqrt{x_i2} \leq \sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^2}$，也就是$|x_i| \leq |x|$。
现在结合有界集的定义，既然$|x|<M$对所有$x\in E$成立，那对每个分量$x_i$，必然有$|x_i| < M$，也就是：
$$-M < x_i < M \quad \forall i=1,2,...,n$$
这时候我们只需要取$a_i=-M$，$b_i=M$（$i=1$到$n$），那么$\prod\limits_{i=1}^n [a_i, b_i]$就是一个完全包含$E$的$n$-胞腔（Rudin这里用$k$-胞腔只是通用说法，$k$对应空间维度$n$）。
当然，你也可以选择其他闭区间来包裹每个分量，比如取$a_i=0$，$b_i=2M$——只要能覆盖所有分量的取值范围就行，取对称区间只是最直观、最方便的选择。
总结一下整个推导的逻辑链：
- $E$是ℝⁿ中的有界集 ⇒ 存在$M>0$，所有$x\in E$的欧范数$|x|<M$
- 每个分量的绝对值$|x_i| \leq |x|$ ⇒ 所有$x_i$满足$|x_i|<M$
- 每个$x_i$落在闭区间$[-M,M]$ ⇒ $E$完全包含于$n$-胞腔$\prod_{i=1}^n [-M,M]$
这样就把你卡住的那一步彻底打通啦！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Cardinality
