有限维实内积空间中自伴线性映射构成子空间的证明疑问

嗨，看起来你已经走在正确的路上啦！先帮你梳理下剩下两个条件的证明思路，结合自伴映射的定义和伴随映射的性质来做就很顺畅：

首先明确核心定义：T是自伴线性映射当且仅当T的伴随映射等于自身，即T* = T，等价的内积表述是：对任意v,w ∈ V，都有⟨T(v), w⟩ = ⟨v, T(w)⟩。

1. 数乘封闭性证明 #

假设T是自伴映射（即T* = T），λ是任意实数，我们需要证明λT也是自伴的。
这里就要用到伴随映射的关键性质：在实内积空间中，数乘线性映射的伴随等于该实数乘原映射的伴随，也就是(λT)* = λT*。
代入T的自伴条件：(λT)* = λT* = λT，这就直接得出λT满足自伴映射的定义，数乘封闭性得证。

你提到的对称矩阵思路完全没问题——在标准正交基下，自伴映射对应对称矩阵，而数乘对称矩阵的结果依然是对称矩阵，这是矩阵层面的直观验证，和线性映射层面的证明是一致的，能帮你更好理解这个结论。

2. 加法封闭性证明 #

假设T和S都是自伴映射（即T* = T，S* = S），我们需要证明T+S也是自伴的。
同样用到伴随映射的性质：两个线性映射之和的伴随等于它们伴随的和，也就是(T+S)* = T* + S*。
代入自伴条件：(T+S)* = T* + S* = T + S，所以T+S满足自伴映射的定义，加法封闭性得证。

再呼应下你已经完成的非空性：用零映射来验证非常准确，零映射的伴随就是它本身，显然属于自伴映射集合，所以这个集合是非空的。

把这三个条件结合起来，就完整证明了自伴线性映射的集合是所有线性映射构成空间的子空间啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user129393192