无单位元环（rng）中的正交幂等元存在性条件问询

我理解你现在在探索**无单位元环（rng）**里正交幂等元的存在性问题，之前你已经在有单位元的有序环上做了推导，知道这类环里不存在非平凡幂等元——毕竟如果有幂等元$e$，那$1-e$就是和它正交的幂等元，再结合有序性的约束就能推出矛盾。

你尝试把这个思路拓展到无单位元的有序rng上，已经证出了关键结论：这类rng里不存在正交的非零幂等元对。具体推导是这样的：假设存在非零幂等元$\epsilon, \delta$满足$\epsilon\delta = \delta\epsilon = 0$，那么通过计算可得$\epsilon(\delta-\epsilon) = -\epsilon$，$\delta(\delta-\epsilon) = \delta$。利用有序环的序性质，就能推出$\delta - \epsilon$既要满足$0 \leq \delta - \epsilon$，又要满足$\delta - \epsilon \leq 0$，从而得到$\delta = \epsilon$，这就直接否定了正交幂等元对的存在。

不过你现在遇到了一个瓶颈：这个结论只能说明有序rng里最多有一个非零幂等元，但没法直接推导出“不存在任何非零幂等元”——毕竟没有单位元的情况下，没法像有单位元的环那样，从一个幂等元直接构造出它的正交补元。

所以你的核心问题可以明确为：

• 如果一个rng（不一定是有序的）存在某个非零幂等元$e$，那么在什么条件下，能找到另一个和它正交的非零幂等元$\delta$（即满足$\epsilon\delta = \delta\epsilon = 0$）？

你也提到，现有的相关讨论都没有直接聚焦到“正交性”这个核心点上，希望能得到更具体的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nick F