关于素数间隙中因数最多的整数对应比值的均匀分布性的技术问询

设 $p_n$ 为第 $n$ 个素数，$d_n$ 是素数间隙 $(p_n, p_{n+1})$ 中因数个数最多的整数；如果间隙里有多个整数的因数个数并列最多，我们就取其中最小的那个作为 $d_n$。

目前的实验数据显示：当 $n \to \infty$ 时，比值序列 $\frac{p_{n+1} - d_n}{p_{n+1} - p_n}$ 在区间 $(0,1)$ 上趋近于均匀分布。

动机说明 #

这个结论其实有点反直觉——按常理来说，数值越大的数通常因数个数越多，我一开始还天真地以为 $d_n$ 应该会更靠近 $p_{n+1}$ 才对，但实验结果完全推翻了这个猜想。

实验验证过程 #

为了检验这个猜想，我计算了以下极限（计算规模达到了 $n = 10^{10}$），针对不同的函数 $f(x)$ 进行测试后发现，极限值和右侧的定积分结果完全吻合：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{r=1}^n f \left(\frac{d_r - p_r}{p_{r+1} - p_r}\right)
= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{r=1}^n f \left(\frac{p_{r+1} - d_r}{p_{r+1} - p_r}\right)
= \int_{0}^1 f(x)dx
$$

核心问题 #

当 $n \to \infty$ 时，$\frac{p_{n+1} - d_n}{p_{n+1} - p_n}$ 真的会趋近于 $(0,1)$ 上的均匀分布吗？

相关研究方向 #

• 利用素数构造定积分的黎曼和公式

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Nilotpal Kanti Sinha