任意凸弧的三次贝塞尔近似通用形式及参数$k_n$的通用表达式求解

各位大佬好，想请教个关于三次贝塞尔曲线近似凸弧的问题：

假设我有一段从点$P_0$到$P_3$的凸弧，弧在起点$P_0$和终点$P_3$处的单位切线分别为$t_0$和$t_3$，用$L$表示$P_0$到$P_3$的直线距离。

目前我已经知道一些特定情况的结果：

• 当$P_0 = (0, 1)$，$P_3 = (1, 0)$，$t_0 = (1, 0)$，$t_3 = (0, 1)$时，近似这段弧的三次贝塞尔曲线的另外两个控制点是$P_1 = (k, 1)$和$P_2 = (1, k)$，其中$k = \frac{4}{3}(\sqrt{2} - 1)$。
• 更普遍一点，当$t_0$和$t_3$的夹角为90°时，控制点可以表示为$P_1 = P_0 + k_n L t_0$，$P_2 = P_3 + k_n L (-t_3)$，这里的$k_n = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{3} \approx 0.39$。

现在我想知道的是：

1. 对于任意凸弧，用三次贝塞尔曲线近似它的通用形式是什么？
2. 更具体地说，参数$k_n$的通用表达式是什么，能不能用$t_0$和$t_3$之间的夹角$\theta$来表示？

另外我手头有几个已知的$\theta$与$k_n$的对应值可以参考：

• $\theta = 180°$时，$k_n \approx 0.6575$¹
• $\theta = 90°$时，$k_n = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{3} \approx 0.39$
• $\theta = 0°$时，$k_n = \frac{1}{3}$

¹ 这个数值是在Inkscape里目测得到的，精度可能没有数字显示的这么高。

之前我找到过一个相关的解答，但它只能解决部分问题：一是我没有弧长的数据，没法用那个方案；二是它没法处理$\theta = 0°$的情况（这时候弧的半径是无穷大）。所以我还是希望能得到一个用$P_0$到$P_3$的距离$L$来表达的答案，而且这个答案在$0° \le \theta \le 180°$的范围内都能给出有限值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matthew