求助：证明满足特定可导条件的函数在[0,1]上恒为零
问题描述
已知函数 $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ 可导，且满足 $f(0)=0$，对任意 $x \in [0,1]$ 都有 $|f'(x)| \le |f(x)|$。需要证明 $f(x)=0$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。
你的思路点评
你想到用拉格朗日中值定理的方向完全正确，而且也注意到了“可导必连续”这个关键前提，只是最后一步的推导缺少了严谨的迭代/极限论证，导致结论显得有点突兀。我来帮你把这个逻辑链补全，让证明更扎实。
严谨证明过程
我们可以通过迭代应用中值定理结合反证法来完成证明，步骤如下：
首先，因为 $f$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可导，所以 $f$ 必然连续，因此 $|f(x)|$ 在 $[0,1]$ 上能取到最大值，记这个最大值为 $M = \max_{x \in [0,1]} |f(x)|$。
假设 $M > 0$，那一定存在某个 $x_0 \in (0,1]$ 使得 $|f(x_0)| = M$（毕竟 $f(0)=0$，最大值不可能在0点取到）。
对区间 $[0, x_0]$ 应用拉格朗日中值定理：存在 $c_1 \in (0, x_0)$，使得
$$|f(x_0)| = |f(x_0) - f(0)| = |f'(c_1)| \cdot x_0$$
结合题设条件 $|f'(c_1)| \le |f(c_1)|$，代入后可得：
$$M = |f(x_0)| \le |f(c_1)| \cdot x_0 \le M \cdot x_0$$接下来对区间 $[0, c_1]$ 再次应用中值定理，又会找到 $c_2 \in (0, c_1)$，使得
$$|f(c_1)| \le |f(c_2)| \cdot c_1 \le M \cdot c_1$$
把这个结果代回上一步的式子，就有：
$$M \le M \cdot x_0 \cdot c_1$$
由于 $c_1 < x_0 < 1$，所以 $x_0 \cdot c_1 < x_0^2 < 1$，也就是 $M \le M \cdot x_0^2$。就这样不断迭代下去，第 $n$ 次迭代后，我们会得到一个严格递减的序列 $c_n \in (0, c_{n-1})$，满足：
$$M \le M \cdot x_0^n$$
当 $n$ 趋向于无穷大时，$x_0^n$ 会趋向于0（因为 $x_0 \in (0,1)$），这就推出 $M \le 0$，和我们最开始假设的 $M > 0$ 矛盾。要是 $x_0=1$（也就是最大值在1点取到），那第一次迭代会得到 $|f(1)| \le |f(c_1)|$，$c_1 \in (0,1)$，接着对 $c_1$ 重复上面的迭代过程，最终会得到 $|f(1)| \le M \cdot c_1 c_2 \dots c_{n-1}$，而序列 $c_n$ 会趋向于0，再结合 $f$ 的连续性，$f(c_n) \to f(0)=0$，所以 $|f(1)| \le 0$，即 $f(1)=0$。
综上，$M$ 只能等于0，也就是说 $f(x)=0$ 对所有 $x \in [0,1]$ 成立。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathStudent101
