关于一个反常积分序列的收敛性及相关星代数算子连续性的技术问询

各位好，我想和大家探讨一个反常积分序列的收敛性问题，同时这个问题还关联到星代数中算子连续性的验证，具体细节如下：

首先定义如下序列：
$$
I_n=\int_0^1 \log^2(t).(1-t)n dt\ ,
$$
通过初等方法（两次分部积分），可以推导出：
$$
I_n=2\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{(k+1)3}
$$

核心问题 #

有没有简单的方法可以证明或证伪这个单调递减、非负的序列趋于0？

问题动机 #

在星代数理论中，我们考虑由集合${\log(t),t}$生成的$\mathcal{C}(]0,1],\mathbb{C})$的子星代数，并在其上定义正线性泛函$\varphi : P\to \int_0^1 P(t) dt$（其中$P(t)=Q(\log(t),t),\ Q\in \mathbb{C}[X,Y]$），这个泛函诱导出一个内积形式：
$$
\langle u(t)\mid v(t)\rangle:=\varphi(v^u) \qquad ()
$$
我们的目标是证明算子$f\to \log(t)f(t)$在由$( * )$诱导的范数下是不连续的。

后期补充（感谢所有贡献者） #

我们可以构造序列$P_n(t)=\frac{n}{\log^2(n)}(1-t)n$，可以看到$\lim_{n\to \infty}P_n=0$，而在上述范数下$\lim_{n\to \infty}\log(t)P_n(t)=1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Duchamp Gérard H. E.