狄利克雷函数限制的连续性验证问询

我最近碰到这么一个分析学的问题：

设 $A \subseteq B \subseteq \mathbb R$，函数 $f : B \rightarrow \mathbb R$，$g$ 是 $f$ 在 $A$ 上的限制（也就是对所有 $x \in A$，都有 $g(x)=f(x)$）。需要举例证明：就算 $g$ 在点 $c$ 处连续，也不能推出 $f$ 在 $c$ 处连续。

我知道类似的问题已经有人讨论过，但我不确定自己想的例子对不对，想请大家帮忙看看。我的思路是这样的：

拿狄利克雷函数来举例：
$$
f(x) =
\begin{cases}
1, & x \in \mathbb Q \
0, & x \notin \mathbb Q
\end{cases}
$$
我取 $A = \mathbb Q$，$B = \mathbb R$，那 $f$ 在 $A$ 上的限制函数 $g$ 就是个恒等于1的常函数，常函数肯定是处处连续的；但原函数 $f$ 是出了名的处处不连续，不管哪个点 $c$ 都不满足连续性的条件。

这个例子能符合题目的要求吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tanisha