数学奥林匹克竞赛中可直接使用无需证明的不等式清单咨询

作为经常帮竞赛生解答问题的过来人，非常理解你作为大一新生对奥赛规则的困惑～下面就整理一份数学奥赛中无需提前证明就能直接使用的常见不等式清单，同时也会补充一些需要额外注意的情况：

• 基本均值不等式系列：包括AM-GM（算术-几何均值不等式）、HM-GM（调和-几何均值不等式）、QM-AM（平方-算术均值不等式）这些核心均值不等式，都是奥赛里的“默认常识”，直接用就行。
• 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：无论是标准形式还是其各种变形（比如向量形式、分式形式），都可以直接引用，不用额外证明。
• 排序不等式（Rearrangement Inequality）：包括正序和≥乱序和≥逆序和的基本结论，属于奥赛中公认的基础工具，直接用没问题。
• 切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：当两组数同序或逆序时的乘积和关系，也是可以直接使用的经典不等式。
• 幂均不等式（Power Mean Inequality）：作为均值不等式的推广，只要说明对应的幂次关系，就可以直接应用。
• 三角不等式：包括平面向量中的三角不等式、三角形中的边的三角不等式（两边之和大于第三边等），都是无需证明的基本结论。
• 伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）：对于实数x≥-1和正整数n，(1+x)^n≥1+nx（或者更一般的实数指数形式），可以直接使用。

另外要注意：

像你提到的“切线技巧（Tangent Trick）”这类属于特定技巧性方法，不属于通用的经典不等式范畴，所以在奥赛中使用时需要先推导证明其适用性，不能直接当作已知结论用。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者StCS