任意向量空间同态张量积等式的无限维有效性及相关文献咨询

嘿，这个问题问到点子上了！先直接给你结论：在无限维向量空间的场景下，$\text{Hom}(V_1\otimes V_2,V_3\otimes V_4) \cong \text{Hom}(V_1,V_3)\otimes \text{Hom}(V_2,V_4)$这个等式并不总是成立。

先聊聊你已经提到的有限维情况：有限维时，我们可以通过维度计算快速验证——两边的维度都是$\dim V_1 \cdot \dim V_2 \cdot \dim V_3 \cdot \dim V_4$，再结合Kronecker积的代数性质，这个同构的成立确实是水到渠成的事。

但到了无限维，情况就不一样了，给你举个简单的反例：
取系数域为$\mathbb{K}$（比如实数域$\mathbb{R}$或复数域$\mathbb{C}$），令$V_1 = V_2 = \mathbb{K}^\infty$（可数无限维的向量空间，由所有可数长度的向量构成），$V_3 = V_4 = \mathbb{K}$。

• 左边：$\text{Hom}(V_1\otimes V_2, V_3\otimes V_4) \cong \text{Hom}(\mathbb{K}^\infty \otimes \mathbb{K}^\infty, \mathbb{K})$，而$\mathbb{K}^\infty \otimes \mathbb{K}^{\infty$是所有**有限支撑**的双序列构成的空间，它的对偶空间（也就是到$\mathbb{K}$的同态空间）的维度是不可数的（具体来说是$2}{\aleph_0}$）。
• 右边：$\text{Hom}(V_1,V_3)\otimes \text{Hom}(V_2,V_4) = \text{Hom}(\mathbb{K}^\infty, \mathbb{K}) \otimes \text{Hom}(\mathbb{K}^\infty, \mathbb{K})$，其中$\text{Hom}(\mathbb{K}^\infty, \mathbb{K})$是$\mathbb{K}$的可数直积（即所有线性泛函构成的空间），它的张量积是由有限支撑的张量元素构成的空间，维度是可数的（$\aleph_0$）。

显然两边的维度都不一样，自然不可能同构。

至于你问的文献，推荐几本经典教材：

• Algebra: Chapter 0（Paolo Aluffi 著）：这本书在张量积与同态空间的章节里，专门对比了有限维和无限维的差异，还给出了这个同构不成立的具体例子，讲解得很直观。
• Categories for the Working Mathematician（Saunders Mac Lane 著）：从范畴论的视角，深入解释了Hom函子与张量积函子的伴随关系，以及这个同构成立的前提条件（比如当其中一个空间是有限生成投射模时，同构才会成立），适合想要深挖底层逻辑的情况。
• 如果你想先从基础线性代数过渡到无限维，可以看看Linear Algebra Done Right的附录部分，虽然它主打有限维，但附录里提到了无限维线性空间的关键差异，能帮你快速建立认知。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andrew