复值函数可微性的判断正确性咨询

你好呀，你的判断大体是正确的，不过咱们可以把细节捋得更清楚一点：

• 闭第一、三象限的可微性：
  在闭第一象限（$x \geq 0, y \geq 0$），$|xy| = xy$，所以函数可以化简为：
  f(x+iy) = x² - y² + 2ixy = (x+iy)² = z²
  而$z²$在整个复平面上都是解析函数，自然在闭第一象限的每一点都可微；
  同理，闭第三象限（$x \leq 0, y \leq 0$）中，$xy$本身就是非负数，$|xy| = xy$，函数同样退化为$z²$，因此这部分区域的所有点也都可微。

• 其他区域的不可微性：
  除了闭第一、三象限，剩下的是第二象限（$x < 0, y > 0$）和第四象限（$x > 0, y < 0$）的点，此时$xy$为负数，$|xy| = -xy$，函数变为：
  f(x+iy) = x² - y² - 2ixy
  我们用柯西-黎曼（CR）方程来验证：设$u(x,y) = x² - y²$，$v(x,y) = -2xy$，计算偏导数：

  • $\partial u/\partial x = 2x$，$\partial v/\partial y = -2x$
  • $\partial u/\partial y = -2y$，$\partial v/\partial x = -2y$
    要满足CR方程，需要$2x = -2x$且$-2y = 2y$，也就是$x=0$且$y=0$（即原点），但第二、四象限的点$x$和$y$不同时为0，因此CR方程不成立，这些点处函数不可微。

• 补充说明坐标轴上的点：
  坐标轴上的点（比如正/负x轴、正/负y轴）都属于闭第一或第三象限，函数同样退化为$z²$，因此这些点也都是可微的，原点自然也包含在内。

总结下来，你的核心结论是完全正确的：该函数在闭第一、三象限处处可微，复平面上其他点都不可微。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathlover