关于函数$f(z)=6 \sin z^3+z^3\left(z^6-6\right)$在$z_0=0$处根的重数的疑问

嗨，我来帮你理清这个问题的对错——你的结论是正确的，根的重数是15，教授的推导有疏漏，咱们一步步拆解验证：

首先回忆复变函数中根的重数定义：若$z_0$是$f(z)$的$m$重根，当且仅当$f(z)$可以写成$(z-z_0)^m \cdot h(z)$，其中$h(z)$在$z_0$处解析且$h(z_0)≠0$。

咱们按泰勒展开的步骤仔细计算：

1. 先写出$\sin w$的泰勒级数（中心在0）：
   $$\sin w = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{w^{2n+1}}{(2n+1)!} = w - \frac{w^3}{3!} + \frac{w^5}{5!} - \frac{w^7}{7!} + \dots$$
2. 令$w=z^3$，代入得到$\sin z^3$的展开式：
   $$\sin z^3 = z^3 - \frac{z^9}{6} + \frac{z^{15}}{120} - \frac{z^{21}}{5040} + \dots$$
3. 计算$6\sin z^3$：
   $$6\sin z^3 = 6z^3 - z^9 + \frac{z^{15}}{20} - \frac{z^{21}}{840} + \dots$$
4. 展开$z^3(z6-6)$：
   $$z^3(z6-6) = z^9 - 6z^3$$
5. 将两部分相加得到$f(z)$：
   $$
   \begin{aligned}
   f(z) &= 6\sin z^3 + z^3(z6-6) \
   &= \left(6z^3 - z^9 + \frac{z^{15}}{20} - \dots\right) + \left(z^9 - 6z^3\right)
   \end{aligned}
   $$
   现在逐项抵消：$6z^3$和$-6z3$抵消，$-z^9$和$z9$抵消，剩下的最低次项是$\frac{z^{15}}{20}$，后续都是更高次的项。

所以$f(z)$可以写成：
$$f(z) = z^{15} \cdot \left( \frac{1}{20} - \frac{z^6}{840} + \dots \right)$$
这里括号里的函数在$z=0$处的值是$\frac{1}{20}≠0$，完全符合重数的定义，因此$z_0=0$是$f(z)$的15重根。

再来看看教授的推导问题：他提取了$z^3$后，错误地认为括号里的$g(z)$在$z=0$处非零，但实际上计算$g(0)$的话：
$$g(0) = 6 \cdot \frac{(-1)^0 \cdot 0^0}{1!} + 0^6 -6 =6-6=0$$
$g(z)$在$z=0$处也是0，说明还能继续提取更高次的$z$因子，教授没有完成这一步，所以得出了错误的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者xar vis