关于组合选法$inom{n}{2}$与分步选法$inom{n}{1}·inom{n-1}{1}$的差异咨询

嗨，这个问题的核心其实在于是否考虑选择的顺序，我用具体例子拆解一下你就懂了：

• 先看$\binom{n}{2}$：这是标准的组合数，它计算的是从$n$个元素里选出2个元素的无顺序集合——完全不关心你选这两个元素的先后顺序。比如从{A,B,C}里选2个，结果就是{AB, AC, BC}，一共3种，对应$\binom{3}{2}=3$。
• 再看$\binom{n}{1}·\binom{n-1}{1}$：这是分步的乘法原理，它计算的是“先选第一个元素，再选第二个不同元素”的有序对。同样从{A,B,C}里选，结果会是(A,B), (A,C), (B,A), (B,C), (C,A), (C,B)，一共6种，对应$\binom{3}{1}·\binom{2}{1}=6$。

你会发现后者的结果正好是前者的2倍——因为每一组无序的2元素集合，在分步选法里都被算了两次（比如{AB}对应(A,B)和(B,A)这两种不同的有序选择过程）。

总结一下：

• $\binom{n}{2}$：选的是无顺序的组合，只看重最终选出来的是哪两个元素，不管选择的先后顺序。
• $\binom{n}{1}·\binom{n-1}{1}$：选的是有顺序的排列，把“先选X再选Y”和“先选Y再选X”当成两种完全不同的选法。

这就是两个式子结果不同的根本原因啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者maddy