诺特半局部环上有限生成模满射到单模的相关问题问询

各位代数方向的朋友好，我最近碰到一个问题，想和大家探讨一下：

设$R$是诺特半局部环，$J(R)$为其Jacobson根。若$M$是有限生成左$R$-模，且满足$ann_R(M) \subseteq J(R)$，那么对任意单左$R$-模$S$，是否一定存在满同态序列$M\to S\to 0$？

我先尝试分析了交换环的情形，觉得这个结论是成立的，具体思路如下：

• 由$ann(M) \subseteq J(R)$可知，每个极大理想$\mathfrak{m}$都包含$ann(M)$，因此所有极大理想都属于$M$的支撑集$Supp(M)$，由此可得局部化后的模$M_{\mathfrak{m}} \neq 0$；
• 根据中山引理，$M_{\mathfrak{m}} \neq (\mathfrak{m}R_{\mathfrak{m}})M_{\mathfrak{m}}$，反向推导就能得到$M \neq \mathfrak{m}M$；
• 交换环中$R/\mathfrak{m}$是域，所以$M/\mathfrak{m}M$是非零的$R/\mathfrak{m}$-向量空间，那么满同态$M \to M/\mathfrak{m}M \to 0$自然存在，进一步就能诱导出$M$到$R/\mathfrak{m}$的满同态——而交换环上的单模恰好都是$R/\mathfrak{m}$这种形式，所以交换情形下结论成立。

不过非交换的情况我还没理清楚头绪，想听听大家的见解~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex