联合概率密度函数中常数c的求解疑问

嗨，我来帮你捋清楚这里的问题所在～你选的积分顺序（先对x积分，再对y积分）本身是没问题的，但你在计算内层积分后的后续步骤里犯了个小错误，导致结果不对！我们一步步拆解纠正：

你的解法修正过程 #

1. 内层积分计算
   先看$\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} cx^2y dx$：
   先计算$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3$，代入上下限$\sqrt{y}$和$-\sqrt{y}$后，得到：
   $$\frac{1}{3}[(\sqrt{y})^3 - (-\sqrt{y})^3] = \frac{1}{3}[y^{3/2} - (-y^{3/2})] = \frac{2}{3}y^{3/2}$$
   这里你之前的计算是对的，但接下来乘以外面的$y$时，指数运算出错了：应该是$\frac{2}{3}y^{3/2} \times y = \frac{2}{3}y^{5/2}$，而不是你直接算的$\frac{2}{3}y$。

2. 外层积分计算
   接下来对$y$从0到1积分：
   $$\int_0^1 \frac{2}{3}c y^{5/2} dy = \frac{2}{3}c \times \left[\frac{y^{{7/2}}{7/2}\right]_0}1 = \frac{2}{3}c \times \frac{2}{7} = \frac{4}{21}c$$

3. 求解常数c
   因为联合概率密度在整个定义域上的积分等于1，所以：
   $$\frac{4}{21}c = 1 \implies c = \frac{21}{4}$$
   这就和答案 sheet 的结果完全一致了！

再聊聊答案 sheet 的积分顺序 #

答案用的是先对y积分、再对x积分的顺序，逻辑更直观对应区域$x^2 \leq y \leq 1$：

• x的取值范围是从-1到1（因为当y=1时，x的边界是$\pm1$）
• 对每个x，y的下限是$x^2$，上限是1

计算过程是：
$$\int_{-1}^1 \int_{x^2}1 cx^2y dy dx$$
先算内层对y的积分：$\int_{x^2}1 y dy = \frac{1}{2}(1 - x^{4)$，再乘以$cx}2$得到$\frac{1}{2}c(x^2 - x^6)$；
再对x积分（利用偶函数性质简化计算）：
$$c \int_0^1 (x^2 - x^6) dx = c \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) = \frac{4}{21}c$$
同样得到$\frac{4}{21}c=1$，解得$c=\frac{21}{4}$。

两种积分顺序都是可行的，只是你在第一种顺序里的指数运算环节疏忽了，修正后就没问题啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user_A