关于黎曼近似框架下置换对求和极限的相关技术问询

问题描述 #

初始问题 #

我有一个关于黎曼近似的问题。假设序列 $a_{n,i}:=a_i=i/n$ 满足：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i=\int_01x\text{d} x.$$

已知由于绝对收敛，下式成立：
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{na_{\pi(i)}=\int_0}1x\text{d} x$$
其中 $\pi$ 是 ${1,\ldots,n}$ 的一个置换。

接下来我想知道，对于
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_ia_{\pi(i)}$$
我们能否确定其极限？且这个极限是否与置换 $\pi$ 无关？

我的思路是尝试用柯西乘积，但没什么进展。目前求和的收敛性应该是明确的，因为：
$$ \sum_{i=1}^n a_ib_i\leq \sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n b_i.$$

非常感谢！

更新后的问题 #

看起来上面问题的答案是：上述黎曼和依赖于置换 $\pi$，且对于一般的 $\pi$ 没有积分表示。因此我想知道，如果改变问题的设定，答案是否会变化。

假设我们有互不相同的点 $x_1,x_2,\ldots,x_n$（包含0和1），满足 $\max_{\substack{i=2,\ldots,n}}|x_i - x_{i-1}|\leq C_n$（注：原表述中任意两点间距趋于0存在矛盾，这里修正为划分的最大子区间长度趋于0，更符合黎曼近似的场景），其中 $C_n\rightarrow 0$ 当 $n\rightarrow \infty$。注意我们不要求这些点满足诸如 $x_1\leq \ldots < x_n$ 的顺序。

我认为我们有：
$$ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \int_0^1 x\text{ d}x.$$

设 $\pi$ 是 ${1,\ldots,n}$ 的一个置换，那么对于
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_ix_{\pi(i)}$$
我们能得到什么结论？

我也可以开一个新问题，但因为和之前的问题相关，所以就作为旧问题的更新了。

解答 #

针对初始问题 #

咱们直接用具体例子就能说明问题：

• 如果 $\pi$ 是恒等置换，那么 $a_i a_{\pi(i)} = (i/n)^{2$，此时求和的极限就是黎曼和的极限：$\int_0}1 x^2 dx = 1/3$。
• 如果取反向置换（比如 $\pi(i) = n+1-i$），那么 $a_i a_{\pi(i)} = i(n+1-i)/n^2$，展开求和后：
  $$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{i(n+1-i)}{n^2} = \frac{n+1}{n^3}\sum_{i=1}n i - \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}n i^2$$
  代入求和公式 $\sum i = n(n+1)/2$、$\sum i^2 = n(n+1)(2n+1)/6$，当 $n\to\infty$ 时，极限为 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = 1/6$。

显然这两个结果不同，所以这个极限完全依赖于置换π，不存在与置换无关的统一极限，也没有通用的积分表示。

针对更新后的问题 #

首先，$\frac{1}{n}\sum x_i \to \int_0^1 x dx = 1/2$ 的结论是成立的：因为点列的划分最大子区间长度趋于0，相当于对[0,1]做了越来越细密的采样，平均值自然收敛到积分值。

但对于 $\frac{1}{n}\sum x_i x_{\pi(i)}$，结论和初始问题类似——极限依然依赖于置换π：

• 若π是恒等置换，求和极限为 $\int_0^1 x^2 dx = 1/3$；
• 若构造置换将每个靠近0的点与靠近1的点配对（在细密划分下，这类配对的乘积会很小），极限会显著低于1/3；
• 甚至可以通过特殊置换构造出介于某个区间内的不同极限值（比如等距划分下，极限范围可以从1/6到1/3）。

唯一能确定的是，这个极限的取值会被点列的平方平均和点列的平均平方约束，但无法得到与置换无关的固定值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者gst25