关于证明任意2×2矩阵A的A²可表示为aA+bI线性形式的技术求助

嗨，我来帮你搞定这个问题！你一开始尝试用矩阵元素展开的思路完全没问题，只是可能卡在了最后匹配系数的环节，另外还有个更巧妙的定理能快速推导，我一步步给你讲清楚～

方法一：直接展开匹配系数 #

首先按照你的思路，设任意2×2矩阵：

A = \begin{pmatrix} w & x \\ y & z \end{pmatrix}

先计算$A^2$：

A^2 = \begin{pmatrix} w^2 + xy & wx + xz \\ yw + zy & yx + z^2 \end{pmatrix}

接下来写出$aA + bI$的形式（$I$是单位矩阵）：

aA + bI = \begin{pmatrix} aw + b & ax \\ ay & az + b \end{pmatrix}

现在让两个矩阵的对应元素相等，我们可以得到几个方程：

• 第一行第二列：$wx + xz = ax$，如果$x \neq 0$，两边除以$x$可得 $a = w + z$（也就是矩阵A的迹（tr(A)），即主对角线元素之和）；如果$x=0$，看第二行第一列：$yw + zy = ay$，若$y \neq 0$，同样能得到$a = w + z$；要是$x$和$y$都为0，A是对角矩阵，这个结论显然也成立。
• 把$a = w + z$代入第一行第一列的等式：$w^2 + xy = a w + b$，解出$b = w^2 + xy - w(w+z) = -(wz - xy)$，而$wz - xy$正是矩阵A的行列式（det(A)），所以$b = -\det(A)$。

最后验证一下，把$a$和$b$代入$aA + bI$，会发现它和$A^2$的所有元素都完全匹配，这就证明了存在这样的标量$a$和$b$。

方法二：用凯莱-哈密顿定理快速推导 #

这个定理是线性代数里的一个重要结论：任意n阶矩阵都满足它自身的特征方程。对于2×2矩阵A，它的特征方程是：

\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0

把方程里的$\lambda$替换成矩阵A，同时把常数项乘以单位矩阵I，就得到：

A^2 - \text{tr}(A)A + \det(A)I = 0

移项之后直接就是：

A^2 = \text{tr}(A)A - \det(A)I

这不就是我们要找的$aA + bI$形式嘛，其中$a = \text{tr}(A)$，$b = -\det(A)$，是不是超简洁？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harry Tim