施瓦茨空间中傅里叶变换的存在性证明求助

定义回顾 #

施瓦茨空间（Schwartz Space） #

我们称 $f \in S(\mathbb{R}) \Leftrightarrow \sup_{x \in \mathbb{R}} |x^i D^j f(x)|< \infty \Leftrightarrow \sup_{x \in \mathbb{R}}|(1+|x|)^n D^k f(x)| < \infty $，其中所有 $i,j,k,n \in \mathbb{N_0}$。

傅里叶变换（Fourier Transformation） #

设 $f \in S(\mathbb{R})$ 是施瓦茨函数，则 $\widehat{f}(\xi):=\int_{\mathbb{R}}f(x) e^{-2 \pi i x \xi}dx$ 被称为 $f$ 的傅里叶变换。

我的困惑与尝试 #

我目前卡在了证明施瓦茨函数的傅里叶变换存在这一步。

我自己试着推导了一下：
$$\int_{\mathbb{R}}f(x)dx\leq \int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx=\int_{\mathbb{R}}(1+x^{2)|f(x)|\frac{1}{1+x}2}dx$$
不过这里我犯了个错误——我误把积分拆成了两个积分的乘积，实际上$\int_{\mathbb{R}} (1+x^2)|f(x)| \cdot \frac{1}{1+x^2}dx \neq \left(\int_{\mathbb{R}}(1+x^2) |f(x)|dx\right) \cdot \left(\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{1+x^2}dx\right)$，这种拆分只对分离变量的被积函数成立，这里都是关于$x$的函数，所以不能这么操作。

我的目标是要说明$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx$有界，这样就能证明傅里叶变换的积分绝对收敛（毕竟$|f(x)e^{-2\pi i x\xi}|=|f(x)|$，指数部分的模是1），从而傅里叶变换存在。但我不知道接下来该怎么推进，能不能有人详细告诉我后续步骤？如果我的思路完全错了，也可以给我一个正确的证明方向。

正确的证明思路 #

其实你的核心方向是对的，就是要证明$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx < \infty$，我们可以直接利用施瓦茨空间的定义来完成这个证明：

1. 首先，根据施瓦茨空间的定义，对于$f \in S(\mathbb{R})$，我们取$n=2$、$k=0$，那么必然存在一个常数$C > 0$，使得对所有$x \in \mathbb{R}$，都有：
   $$|(1+|x|)^2 f(x)| \leq C$$
   展开$(1+|x|)^2$得到$1 + 2|x| + |x|^2$，显然$1 + 2|x| + |x|^2 \geq 1 + x^{2$（因为$|x|}2=x^2$，且$2|x|\geq0$），所以可以得到：
   $$(1+x^2)|f(x)| \leq (1+|x|)^2 |f(x)| \leq C$$
   也就是说，对所有$x \in \mathbb{R}$，$|f(x)| \leq \frac{C}{1+x^2}$。

2. 接下来计算$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx$，代入上面的不等式：
   $$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx \leq C \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{1+x^2}dx$$
   我们知道$\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{1+x^2}dx = \pi$，这是一个确定的有限值，所以：
   $$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx \leq C\pi < \infty$$

3. 最后回到傅里叶变换的积分：
   $$|\widehat{f}(\xi)| = \left| \int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-2\pi i x\xi}dx \right| \leq \int_{\mathbb{R}}|f(x)e^{-2\pi i x\xi}|dx = \int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx < \infty$$
   因为指数函数$e^{-2\pi i x\xi}$的模恒为1（即$|e^{-2\pi i x\xi}|=1$），所以这个积分是绝对收敛的，这就说明傅里叶变换$\widehat{f}(\xi)$对任意$\xi \in \mathbb{R}$都存在。

另外补充一点：施瓦茨函数的衰减速度比任何多项式的倒数都快，所以不仅$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx$有限，甚至对于任意多项式$P(x)$，$\int_{\mathbb{R}}|P(x)f(x)|dx$都是有限的，这也是施瓦茨空间的一个关键性质。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sigi