关于不用双对数函数证明积分∫₀¹[log(t⁴-t²+1)]/(t-1)dt=(11π²)/72 - [log²(2+√3)]/2的技术问询

大家好，我最近在处理这个积分等式：
$$\int_{0}^{{1}\frac{\log{\left(t}4-t^2+1 \right)}}{t-1} ,dt=\frac{11}{72}\pi^{{2}-\frac{\log}{2} \left(2+\sqrt{3} \right)}{2}\tag{1}.$$
试了Mathematica和Wolfram Alpha，都没法直接算出这个积分的结果。

我自己已经整理出一个基于双对数函数的证明，思路是参考@J.G的建议来的，先给大家梳理一下这个证明过程：

首先用到双对数函数的积分定义：
$$\mathrm{Li}2(z)=-\int{0}^{1}\frac{\log{(1-zy)}}{y}dy,\tag{2}$$
还有欧拉的双对数反射公式：
$$\mathrm{Li}_2(z)+\mathrm{Li}_2(1-z)=\frac{\pi^2}{6}-\log{(1-z)}\log{(z)}.\tag{3}$$

把这两个式子结合起来，可以推导出：
$$\mathrm{Li}_2(z)+\mathrm{Li}2(1-z)=-\int{0}^{1}\frac{\log{((1-tz)(t(z-1)+1))}}{t} dt =\frac{\pi^2}{6}-\log{(1-z)}\log{(z)},\tag{4}$$

接下来取两个复数$z_{1}=\frac{1}{2}-\frac{2+\sqrt{3}}{2}i$和$z_{2}=\frac{1}{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2}i$，根据(2)计算它们双对数和的实部：
$$\begin{align*}
\Re\left(\mathrm{Li}2(z{1})+\mathrm{Li}2(z{2})\right)&=\Re\left(-\int_{0}^{{1}\frac{\log{(1-z_{1}t)}}{t}dt-\int_{0}}{1}\frac{\log{(1-z_{2}t)}}{t}dt\right)\
&=-\frac{1}{2}\left( \int_{0}^{{1}\frac{\log{(t}2(2+\sqrt{3})-t+1)}}{t}dt+ \int_{0}^{{1}\frac{\log{(t}2(2-\sqrt{3})-t+1)}}{t}dt\right)\
&=-\frac{1}{2}(I_{1}+I_{2}).
\end{align*}$$

再利用(4)分别计算$I_1$和$I_2$：
$$\begin{align*}
I_{1}&=\int_{0}^{{1}\frac{\log{(t}2(2+\sqrt{3})-t+1)}}{t}dt \
&=-\frac{\pi^2}{6}+\log{(1-z_{1})}\log{(z_{1})}\
&=\frac{\pi^{2}{144}+\frac{\log}2{(2+\sqrt{3})}}{4},
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
I_{2}&=\int_{0}^{{1}\frac{\log{(t}2(2-\sqrt{3})-t+1)}}{t}dt\
&=-\frac{\pi^2}{6}+\log{(1-z_{2})}\log{(z_{2})}\
&=-\frac{23\pi^{2}{144}+\frac{\log}2{(2-\sqrt{3})}}{4}\
&=-\frac{23\pi^{2}{144}+\frac{\log}2{(2+\sqrt{3})}}{4}.
\end{align*}$$

把$I_1$和$I_2$代入实部的表达式，得到：
$$\Re\left(\mathrm{Li}2(z{1})+\mathrm{Li}2(z{2})\right)=\frac{11}{144}\pi^{{2}-\frac{\log}{2}(2+\sqrt{3})}{4}.\tag{5}$$

最后通过变量替换$y=1-t$，再化简被积函数里的对数乘积，发现$I_1+I_2$正好等于我们要计算的积分：
$$I_{1}+I_{2}=\int_{0}^{{1}\frac{\log{(y}4-4y^3+5y2-2y+1)}}{y}dy\overset{y=1-t}=\int_{0}^{{1}\frac{\log{(t}4-t^2+1)}}{t-1}dt,$$
结合(5)就能得到等式(1)的结果。

现在我想请教大家：

有没有办法用已知的级数展开或者其他替代方法来证明这个积分？特别希望能得到不使用双对数函数的证明方法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者User-Refolio