子空间A与B的和、交计算及格拉斯曼定理应用疑问

嗨，我来帮你梳理一下这个问题里的关键点，你之前的思路方向是对的，但在求交集的时候犯了一个容易忽略的小错误——参数名重复导致方程组列错了，这直接影响了后续的格拉斯曼定理应用结果。咱们一步步来拆解：

一、先明确A和B的正确参数化 #

首先你对A和B的参数化逻辑是对的，但为了避免混淆，建议给不同子空间的参数用不同的名字：

• 对于A：它是由两个线性无关的列向量$\mathbf{a_1}=\begin{pmatrix}2\0\1\end{pmatrix}$和$\mathbf{a_2}=\begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix}$张成的，所以任意$\mathbf{x} \in A$可以写成：
  $\mathbf{x} = t\mathbf{a_1} + s\mathbf{a_2} = \begin{pmatrix}2t \ s \ t\end{pmatrix}$，其中$t,s \in \mathbb{R}$，显然$\dim(A)=2$，这部分你没错。
• 对于B：它是由两个线性无关的列向量$\mathbf{b_1}=\begin{pmatrix}1\-1\0\end{pmatrix}$和$\mathbf{b_2}=\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}$张成的，任意$\mathbf{y} \in B$可以写成：
  $\mathbf{y} = u\mathbf{b_1} + v\mathbf{b_2} = \begin{pmatrix}u \ -u \ v\end{pmatrix}$，其中$u,v \in \mathbb{R}$，$\dim(B)=2$，这部分也没错。

二、纠正A∩B的计算 #

你之前的问题在于，把A和B的参数都用了$t$和$s$，导致列方程组时误以为两个子空间的参数是同一个变量，这就错了。正确的方程组应该是让A中的向量等于B中的向量，对应分量相等：
$$
\begin{cases}
2t = u \
s = -u \
t = v
\end{cases}
$$
把第一个方程$u=2t$代入第二个方程，得到$s=-2t$；第三个方程直接给出$v=t$。所以交集里的向量可以表示为：
$\mathbf{z} = \begin{pmatrix}2t \ -2t \ t\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}2 \ -2 \ 1\end{pmatrix}$，其中$t \in \mathbb{R}$。
这说明$A \cap B$是由向量$\begin{pmatrix}2 \ -2 \ 1\end{pmatrix}$张成的1维子空间，$\dim(A \cap B)=1$，而不是你之前算的0维。

三、用格拉斯曼定理计算$\dim(A+B)$ #

现在代入格拉斯曼公式：
$$
\dim(A+B) = \dim(A) + \dim(B) - \dim(A \cap B) = 2 + 2 - 1 = 3
$$
这个结果就合理了，因为我们的整个空间是$\mathbb{R}^{3$，维度最大就是3，所以$A+B$其实就是整个$\mathbb{R}}3$。

四、A+B的笛卡尔表示 #

既然$A+B=\mathbb{R}^3$，那它的笛卡尔表示就是所有满足$x,y,z \in \mathbb{R}$的向量$\begin{pmatrix}x \ y \ z\end{pmatrix}$，没有额外的约束条件。如果想验证的话，可以把A和B的基向量放在一起组成矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 & 0 \
0 & 1 & -1 & 0 \
1 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
通过行变换可以算出这个矩阵的秩是3，说明这四个向量张成了整个$\mathbb{R}^3$，和格拉斯曼定理的结论一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Edoardo S