随机切割圆形披萨以获得无曲边切块的平均次数求解

我们先来明确问题：在圆形披萨的圆周上随机选两个均匀分布的点，沿两点连线切一刀。请问平均需要切多少次，才能得到一块完全没有曲边的切块？（换个说法就是，平均要在圆上画多少条这样的随机弦，才能形成一个多边形——这里的多边形切块就是没有曲边的那块。）

举个实际例子，某次实验里，第5次随机切割后就得到了这样一块无曲边的切块。

我的尝试 #

我在Desmos上做了一个披萨切割的模拟器，从模拟结果来看，这个平均次数大概在7左右。

我还尝试计算第n次切割才首次得到无曲边切块的概率，不过目前只算出了n=3时的概率是$\frac{1}{15}$，具体推导过程是这样的：

• 三条切割会在圆周上留下6个点；
• 先任选一个点，它必须和对面的点配对（也就是形成一条直径），这个概率是$\frac{1}{5}$；
• 剩下的4个点里再选一个，它同样要和对面的点配对，此时概率是$\frac{1}{3}$；
• 最后剩下的两个点自然配对即可。
• 把这两步的概率相乘，得到总概率：$\frac{1}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan