利用辐角原理验证黎曼假设时的围道选择问题

先给大家明确下辐角原理的核心内容，这是我们讨论的基础：

如果$f$是某条闭合围道$C$内部及围道上的亚纯函数，且$f$在$C$上没有零点或极点，那么
$$\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f'(z)}{f(z)},dz=Z-P$$
其中$Z$和$P$分别表示$C$内部零点和极点的个数（计重数）。

在数值验证黎曼假设的过程中，核心步骤就是借助这个原理来统计指定区域内黎曼zeta函数$\zeta(z)$的零点数量。

不过这里我碰到了一个棘手的问题：当我们选择围道$C$的时候，怎么能保证$\zeta(z)$在围道上没有零点呢？毕竟我们事先根本不知道目标区域是不是完全无零点的，那到底该怎么选合适的围道？

我一开始想到的思路是：假设zeta函数零点的虚部都是无理数，那只要把围道的虚部选成有理数，应该就能避开零点了。但后来我才意识到，这个前提根本站不住脚——我们其实完全不知道零点的虚部是不是真的全都是无理数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者japjap