指数族分布中参数λ的充分统计量是否也是其倒数1/λ的充分统计量？

嘿，你的思路完全没问题！甚至还可以用更直接的方式来证明，不过矛盾法的路子也是通顺的，我来给你梳理清楚：

首先要明确：θ=1/λ（λ>0）是一一对应的双射变换——每个λ对应唯一的θ，每个θ也对应唯一的λ，两者只是同一分布的等价参数化方式，本质上是换了个“参数名字”而已。

用矛盾法验证你的思路 #

你想的“如果T不是θ的充分统计量，那它也不可能是λ的充分统计量”完全成立：
假设T不是θ的充分统计量，根据充分统计量的定义，这意味着给定T(X)时，样本X的条件分布会依赖于θ。但θ和λ是一一对应的，依赖θ就等同于依赖λ，这直接和“T是λ的充分统计量”的前提矛盾。所以反过来，既然T对λ充分，那它对θ=1/λ也必然充分。

更直接的推导：用因子分解定理 #

其实不用矛盾法也能快速证明，指数族的密度形式刚好适合用因子分解定理：
指数族{E(λ)}的密度可以写成：
f(x; λ) = h(x) exp(λT(x) - A(λ))
其中T(x)就是λ的充分统计量（这是指数族的基本性质）。
当我们换成θ=1/λ的参数化后，代入λ=1/θ，密度就变成：
f(x; θ) = h(x) exp( (1/θ)T(x) - A(1/θ) )
根据因子分解定理，这个式子可以拆成仅依赖样本x的h(x)，和仅依赖θ与T(x)的exp( (1/θ)T(x) - A(1/θ) )两部分，所以T(x)自然也是θ的充分统计量。

总结一下：因为θ和λ是一一对应的等价参数，统计量捕捉到的是样本中关于分布的核心信息，不会因为参数的表达方式变了就丢失信息，所以针对其中一个参数的充分统计量，必然对另一个也充分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者johnsmith