关于Rudin《数学分析原理》定理2.40中k-胞腔距离不等式的疑问

嘿，我完全懂你卡在这儿的困惑——Rudin的这个第一步确实容易让人绕进死胡同，尤其是刚接触k-胞腔这类多维概念的时候。咱们一步步把这个问题拆解开，把逻辑理清楚：

首先，你已经找对了方向：因为平方根函数在非负实数域上是严格递增的，所以要证明$|x-y| ≤ δ$，只需要先证明对应的平方和不等式：
$$\sum_{j=1}^k (x_j - y_j)^2 ≤ \sum_{j=1}^k (b_j - a_j)^2$$

你之前尝试直接减不等式的思路走偏了，问题出在对分量差的范围判断上。咱们换个角度看每个分量的差：
对于任意的$j$，$x_j$和$y_j$都落在区间$[a_j, b_j]$里，那$x_j - y_j$的最大可能绝对值是多少？

• 当$x_j$取区间的最大值$b_j$，$y_j$取区间的最小值$a_j$时，$x_j - y_j = b_j - a_j$；
• 当$x_j$取最小值$a_j$，$y_j$取最大值$b_j$时，$x_j - y_j = a_j - b_j = -(b_j - a_j)$；
• 其他情况下，$x_j - y_j$的绝对值肯定不会超过$b_j - a_j$。

所以对每个分量$j$，我们能得到核心不等式：
$$|x_j - y_j| ≤ b_j - a_j$$

接下来，因为平方运算在非负实数上是保序的（也就是如果$0 ≤ p ≤ q$，那么$p^2 ≤ q^2$），所以把上面的不等式两边平方，得到：
$$(x_j - y_j)^2 ≤ (b_j - a_j)^2$$

现在把这$k$个不等式逐个加起来，左边就是$\sum_{j=1}^k (x_j - y_j)^{2$，右边就是$\sum_{j=1}}k (b_j - a_j)^2$，这样就证明了咱们需要的平方和不等式。

最后，再对两边同时开平方（因为平方根严格递增，不等号方向不变），就得到：
$$|x-y| = \left(\sum_{j=1}^k (x_j - y_j)^2\right){1/2} ≤ \left(\sum_{j=1}^k (b_j - a_j)^2\right){1/2} = δ$$

另外你猜的没错，$\delta$确实就是这个k-胞腔的直径——因为当取$x=(b_1, b_2, ..., b_k)$，$y=(a_1, a_2, ..., a_k)$时，$|x-y|$正好等于$\delta$，这说明这个上界是可以达到的，所以$\delta$就是所有点对距离的上确界，也就是直径。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Brad G.