求解微分方程$4xp^2=(3x-1)^2$的奇解时的判别式应用困惑

我最近在求解微分方程$$4xp^2=(3x-1)2$$（其中$p=\frac{dy}{dx}$）的奇解，按照所学知识，一阶微分方程的奇解对应着通解曲线族的包络，所以我先尝试求出了方程的通解：

首先把原方程整理求解$p$：
$$4xp^2=(3x-1)2 \implies p=\frac{(3x-1)}{2\sqrt x}$$
也就是$\frac{dy}{dx}=\frac{(3x-1)}{2\sqrt x}$，对其积分后得到：
$$y=x\sqrt x-\sqrt x+c$$
将其整理为隐式的通解形式：
$$(y-c)^2-x(x-1)2=0$$
这里$c$是积分常数，我把这个通解记为$\phi(x,y,c)=(y-c)^2-x(x-1)2=0$。

接下来我计算了c-判别式，也就是联立以下两个式子消去常数$c$：

• $\frac{\partial \phi}{\partial c}=0$
• $\phi(x,y,c)=0$

计算偏导数：
$$\frac{\partial \phi}{\partial c}=2(c-y)=0 \implies c=y$$
将$c=y$代入通解的隐式方程，得到：
$$0 - x(x-1)^2=0$$
所以最终得到的c-判别式是$x(x-1)^2=0$。

之后我又计算了p-判别式，先把原微分方程写成$F(x,y,p)=4xp^2-(3x-1)2=0$，展开后就是$4xp^2-9x2-1+6x=0$，然后联立以下两个式子消去$p$：

• $\frac{\partial F}{\partial p}=0$
• $F(x,y,p)=0$

计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial p}=8xp=0$$
通过这个式子和原方程消去$p$后，我得到的p-判别式是$(3x-1)^2=0$。

我记得有这样的结论：

• 如果$P(x,y)=0$是p-判别式，那么$P(x,y)=hC_lT^3$，其中$h$是待求的奇解，$C_l$是尖点轨迹，$T$是切点轨迹
• 如果$C(x,y)=0$是c-判别式，那么$C=hC_l^3N2$，其中$C_l$是尖点轨迹，$N$是结点轨迹

可现在我的p-判别式是$(3x-1)^{2=0$，c-判别式是$x(x-1)}2=0$，这两个式子没有公共的因子，我一下子就卡在这儿了，不知道该怎么用这个方法继续找出奇解，有没有大佬能帮忙指点一下？

另外我还看到有一份资料里用别的方法解了这个一模一样的题（就在资料的第9页），但完全没用到这种判别式的方法，我就特别纳闷，为什么这个题不能用这种常规的判别式方法来解呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley