求解无穷级数中的变量a

嘿，你已经注意到偶数项为0、奇数项是2/aⁿ这一点，其实已经走对路啦！咱们接着往下推就行～

首先先明确：当n为偶数时，$\cos(n\pi)=1$，所以$1-\cos(n\pi)=0$；当n为奇数时，$\cos(n\pi)=-1$，所以$1-\cos(n\pi)=2$。那原级数就可以简化成只对所有奇数n求和：

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{a^{2k-1}}$$

接下来我们把这个级数拆一下，提取出常数项，方便用等比级数的求和公式：

$$\frac{2}{a} \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{a^2} \right)^{k-1}$$

现在看后面的求和部分，这是一个首项为1、公比r=1/a²的无穷等比级数。要让这个级数收敛，必须满足公比的绝对值小于1，也就是$|r|=|\frac{1}{a^2}|<1$，换算下来就是$|a|>1$（这一步很重要，后面解出根后要验证这个条件）。

无穷等比级数的求和公式是$\frac{1}{1 - r}$（当|r|<1时），代入进去后，整个级数的和就变成：

$$\frac{2}{a} \times \frac{1}{1 - \frac{1}{a^2}}$$

接下来化简这个表达式：先把分母$1 - \frac{1}{a^{2}$通分，得到$\frac{a}2 - 1}{a^2}$，所以整个式子可以写成：

$$\frac{2}{a} \times \frac{a^2}{a2 - 1} = \frac{2a}{a^2 - 1}$$

题目说这个级数的和等于1，那我们就得到方程：

$$\frac{2a}{a^2 - 1} = 1$$

解这个方程的话，两边同时乘以$a^2 - 1$（注意a≠±1，而且因为|a|>1，所以$a^2 - 1$是正数，不用担心符号问题），得到：

$$2a = a^2 - 1$$

整理成标准的二次方程形式：

$$a^2 - 2a - 1 = 0$$

用求根公式代入计算（对于$Ax^{2+Bx+C=0$，根为$\frac{-B\pm\sqrt{B}2-4AC}}{2A}$），这里A=1，B=-2，C=-1，得到：

$$a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\times1\times(-1)}}{2\times1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

最后结合之前的收敛条件$|a|>1$来筛选根：

• $1 + \sqrt{2} \approx 2.414$，绝对值大于1，符合收敛要求；
• $1 - \sqrt{2} \approx -0.414$，绝对值小于1，这时候原级数的公比会大于1，级数发散，所以要舍去这个根。

所以最终满足条件的a的值就是$1 + \sqrt{2}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joshua Woolf