非空k点的整射影k概型整体截面H⁰(X,𝒪_X)=k的证明问询

各位代数几何领域的朋友们，我最近在啃一个概论相关的证明题，卡壳了，想请教下大家的思路：

若$X$是整的射影$k$-概型，且$X(k) \neq \emptyset$，我想证明整体截面$H^0(X,\mathcal{O}_X)=k$。

我目前梳理的思路是这样的：

• 已知$X(k)$非空，说明存在点$x \in X$，使得标准嵌入$k \rightarrow k(x)$是双射（这里$k(x)$是点$x$处的剩余域）。
• 取一个包含$x$的仿射开集$\operatorname{Spec}(A) \subset X$，此时结构层的限制映射$\mathcal{O}_X(X) \rightarrow A$是单射——这个结论要么来自整概型上结构层的限制映射本身是单射的性质，要么也可以用“整概型的整体截面是域”这个点来推导。
• 我感觉只要能证明复合映射$\mathcal{O}_X(X) \rightarrow A \rightarrow k(x)$是同构，应该就能完成整个证明，但我不知道怎么推进这个论证，有没有大佬能指点一下？或者我这个思路本身有没有问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Meliodas