模mN下集合uN{0,1,2,…,m-1}与N{0,1,2,…,m-1}等价性的证明求助

嘿，我最近卡在一个数论问题上好几天了，看起来挺简单但每次梳理逻辑都绕进去，想请大家帮忙看看：

设$m,N\in\mathbb{N}_2$（也就是大于等于2的自然数），我们考虑模$mN$的情况。取$u\in{1,\dots,mN-1}$满足$\gcd(mN,u)=1$，我需要证明不考虑顺序的情况下，以下两个集合是相等的：

$$uN{0,1,2,\dots,m-1}\equiv N{0,1,2,\dots,m-1}\pmod{mN}$$

补充说明：这里的$cA\pmod{n}$定义为${ca\pmod{n}:a\in A}$

举个具体的例子来验证：
取$m=6$，$N=24$，$u=5$，显然$\gcd(mN,u)=\gcd(144,5)=1$，计算过程如下：
$$
\begin{split}
5\times 24{0,1,2,3,4,5}&\equiv 5{0,24,48,72,96,120} \
&\equiv {0, 120, 240,360,480,600} \
&\equiv {0,120,96,72, 48, 24} \
&\equiv 24{0,1,2,3,4,5}\pmod{144}
\end{split}
$$

我已经为这个问题纠结好几天了，明明感觉它应该有个简洁的证明，但每次尝试推导都陷入逻辑的死胡同，说不定是漏掉了某个显而易见的关键点？真心希望能得到大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MeBadMaths