关于有限Toeplitz矩阵谱半径不收敛于无限Toeplitz矩阵谱半径的疑问及相关问题咨询

我最近在研读Bottcher & Grudsky的《有界Toeplitz矩阵的谱性质》时遇到了一个困惑，想跟大家请教一下。

先明确一下相关定义：

• 对于Wiener代数中的任意多项式 $a=\sum_{n}a_n t^{n}$，我们定义对应的无限Toeplitz矩阵 $T(a)$，它的第$(j,k)$个元素满足：
  $$T(a){j,k}=a{j-k}$$
• 有限矩阵 $T_{N}(a)$ 则是 $T(a)$ 的左上角 $N \times N$ 子块。
• 矩阵$A$的谱是所有满足$A - \lambda I$不可逆的$\lambda$的集合；矩阵$A$的谱半径rad A则是谱中元素的最大模长。

书中10.3节提到：有限Toeplitz矩阵的谱半径并不会收敛到其对应无限Toeplitz矩阵的谱半径。举了个例子：当$b=t$时，rad T(b)=1，但对任意$N$，rad T_N(b)=0。

我现在的疑问主要有两点：

1. 怎么理解这种谱半径不收敛的情况？
2. 为什么$T(b) - \exp(i\theta)I$会对某个$\theta$不可逆？

给大家看一下具体的矩阵形式：
有限矩阵$T_{3}(b)$是：
$$T_{3}(b)=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\
1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0\
\end{pmatrix}$$
无限版的$T(b)$则是这个矩阵沿对角线方向无限延伸的下移位矩阵。

另外我发现，$T(b^{-1})=T(1/t)$（也就是上移位矩阵）是有特征值1的：
$$T(1/t)=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots\
0 & 0 & 1\
0 & 0 & 0\
\vdots\
\end{pmatrix}$$
因为向量$(1,1,1,1,...)^{T}$就是它的一个特征向量。但这个方法对$b=t$的情况完全不适用，这就让我不禁怀疑：难道Bottcher & Grudsky这里写错了吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ma Ye