如何垂直平移预测曲线Yp以最小化与Ya的面积差及证明方法

问题背景 #

现有两条曲线：绿色的实际曲线 ( Y_a(x) ) 和浅红色的预测曲线 ( Y_p(x) )。我们需要将 ( Y_p(x) ) 垂直平移得到 ( Y_p'(x) = Y_p(x) + c )（( c ) 为平移量，向上为正，向下为负），目标是最小化两条曲线之间围成的红色区域总面积。

最优平移量结论 #

根据面积差的量化方式，最优平移量分为两种情况：

• 若采用平方误差积分（工程、统计领域常用的最小误差指标），最优平移量 ( c ) 是实际曲线与预测曲线的区间平均值之差：
  [ c = \bar{Y_a} - \bar{Y_p} ]
  其中 ( \bar{Y_a} = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} Y_a(x) dx )，( \bar{Y_p} = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} Y_p(x) dx )，( [x_1, x_2] ) 是曲线的有效区间。
• 若直接最小化两条曲线间的绝对面积，最优平移量 ( c ) 是 ( Y_a(x) - Y_p(x) ) 在区间 ( [x_1, x_2] ) 上的中位数。

证明：最小化平方误差积分 #

1. 定义目标函数（平方误差积分）：
   [ J(c) = \int_{x_1}^{x_2} \left[ Y_a(x) - (Y_p(x) + c) \right]^2 dx ]
   令 ( D(x) = Y_a(x) - Y_p(x) )，函数可简化为：
   [ J(c) = \int_{x_1}^{x_2} (D(x) - c)^2 dx ]

2. 展开并拆分积分：
   [ J(c) = \int_{x_1}^{x_2} D(x)^2 dx - 2c \int_{x_1}^{x_2} D(x) dx + c^2 (x_2 - x_1) ]
   这是一个开口向上的二次函数，最小值出现在导数为0的位置。

3. 对 ( c ) 求导并令导数为0：
   [ \frac{dJ}{dc} = -2 \int_{x_1}^{x_2} D(x) dx + 2c(x_2 - x_1) = 0 ]

4. 解方程得最优 ( c )：
   [ c = \frac{1}{x_2 - x_1} \int_{x_1}^{x_2} D(x) dx = \bar{Y_a} - \bar{Y_p} ]

5. 验证二阶导数 ( \frac{d^2J}{dc2} = 2(x_2 - x_1) > 0 )，确认该点为最小值点。

证明：最小化绝对面积 #

若目标是最小化绝对面积 ( J(c) = \int_{x_1}^{x_2} |D(x) - c| dx )：

1. 对 ( c ) 求导，利用绝对值函数的导数性质，导数为：
   [ \frac{dJ}{dc} = \int_{x_1}^{x_2} \text{sign}(c - D(x)) dx ]
   其中 ( \text{sign}(z) ) 为符号函数（( z>0 ) 时取值1，( z<0 ) 时取值-1，( z=0 ) 时取值0）。

2. 令导数为0，即：
   [ \int_{x_1}^{x_2} \text{sign}(c - D(x)) dx = 0 ]
   这意味着区间内 ( D(x) < c ) 的长度与 ( D(x) > c ) 的长度相等，即 ( c ) 是 ( D(x) ) 在 ( [x_1, x_2] ) 上的中位数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sweetyBaby